onde
é uma constante positiva. (a) Faça um gráfico da função de onda proposta. (b) Mostre que a função de onda proposta satisfaz a equação de Schrödinger para
se a energia for dada por
- ou seja, quando a energia da partícula for negativa. © Mostre que a função de onda proposta também satisfaz a equação de Schrödinger para
com a mesma energia do item (b). (d) Explique por que, embora essa função preencha essas condições, não é uma solução aceitável para a equação de Schrödinger de uma partícula livre. (Dica: qual é o comportamento da função no ponto
?) Sabemos que é impossível uma partícula livre (aquela cuja energia potencial
) possuir energia negativa.
Passo 1
Beleza, então o exercício dá uma função de onda
com
(a) desenhar o gráfico de
(b) mostrar que, para
se
;
© fazer igual para ;
(d) explicar por que, apesar disso, não é solução aceitável para partícula livre (ou seja, por que esse “estado ligado” não funciona quando em toda parte).
© fazer igual para
(d) explicar por que, apesar disso, não é solução aceitável para partícula livre (ou seja, por que esse “estado ligado” não funciona quando
O conteúdo aqui é Mecânica Quântica – resolver a equação de Schrödinger independente do tempo em duas regiões, aplicar condições de contorno e discutir a física do sinal de
e continuidade de
e sua derivada.
Passo 2
Gráfico de
:
- Para
, cresce exponencialmente quando (vale 1 em ) e decai para zero quando . - Para
, decai exponencialmente a partir de 1 em até zero em .
Logo, o gráfico é um “V” suave invertido: valor máximo 1 em, cai para zero para .
Passo 3
Região
:
- Escreve-se a equação independente do tempo, livre (
):
- Calcula derivadas de
:
- Substitui no lado esquerdo:
Para isso bater com
, basta escolher
Então a equação fica certinha.
Passo 4
Região
:
- Agora
. - Derivadas:
- Novamente
se
. Perfeito, mesma energia.
Passo 5
Mas por que isso não é aceitável para partícula livre?
- Física: numa partícula livre (
), a energia cinética . Aqui saiu negativo, o que não faz sentido – não existe “estado ligado” sem potencial que confine. - Continuidade de
e : -
e , ok, é contínua. - Mas
e : tem salto na derivada! Com essa derivada devia ser contínua.
Então esse “ansatz” quebra a condição de derivada contínua em, além de prever energia negativa para um caso livre.
-
Resposta
A função satisfaz a equação de Schrödinger livre em cada região se
, mas não é solução física para partícula livre porque (i) ela implica energia negativa (incompatível com energia cinética ≥0) e (ii) sua derivada salta em
, violando as condições de contorno para
.