psi(x)= e^+kappa x, & x<0 e^-kappa x, & x >= 0
onde kappa é uma constante positiva. (a) Faça um gráfico da função de onda proposta. (b) Mostre que a função de onda proposta satisfaz a equação de Schrödinger para x<0 se a energia for dada por E=-hbar^2 kappa^2 / 2 m - ou seja, quando a energia da partícula for negativa. © Mostre que a função de onda proposta também satisfaz a equação de Schrödinger para x >= 0 com a mesma energia do item (b). (d) Explique por que, embora essa função preencha essas condições, não é uma solução aceitável para a equação de Schrödinger de uma partícula livre. (Dica: qual é o comportamento da função no ponto x=0 ?) Sabemos que é impossível uma partícula livre (aquela cuja energia potencial U(x)=0 ) possuir energia negativa.

Passo 1

Beleza, então o exercício dá uma função de onda
e^+kappa x, & x<0 [6pt] e^-kappa x, & x>=0
com -,hbar^22m,d^2psidx^2=E,psi . Ele pede:
(a) desenhar o gráfico de ;
(b) mostrar que, para , ela satisfaz a equação de Schrödinger livre
se ;
© fazer igual para ;
(d) explicar por que, apesar disso, não é solução aceitável para partícula livre (ou seja, por que esse “estado ligado” não funciona quando em toda parte).
O conteúdo aqui é Mecânica Quântica – resolver a equação de Schrödinger independente do tempo em duas regiões, aplicar condições de contorno e discutir a física do sinal de e continuidade de e sua derivada.

Passo 2

Gráfico de :
  • Para , cresce exponencialmente quando (vale 1 em ) e decai para zero quando .
  • Para , decai exponencialmente a partir de 1 em até zero em .
    Logo, o gráfico é um “V” suave invertido: valor máximo 1 em , cai para zero para .

Passo 3

Região -hbar^22m,d^2psidx^2=E,psi :
  1. Escreve-se a equação independente do tempo, livre ( dpsidx=kappa,e^kappa x, d^2psidx^2=kappa^2,e^kappa x ):
-hbar^22m,kappa^2,e^kappa x ;=;E,e^kappa x
  1. Calcula derivadas de E=-hbar^2kappa^22m :
  1. Substitui no lado esquerdo:
Para isso bater com , basta escolher
Então a equação fica certinha.

Passo 4

Região dpsidx=-kappa,e^-kappa x, d^2psidx^2=kappa^2,e^-kappa x :
  1. Agora -hbar^22m,d^2psidx^2 =-hbar^22m,kappa^2,e^-kappa x ;=;E,e^-kappa x .
  2. Derivadas:
  1. Novamente
se . Perfeito, mesma energia.

Passo 5

Mas por que isso não é aceitável para partícula livre?
  1. Física: numa partícula livre ( ), a energia cinética . Aqui saiu negativo, o que não faz sentido – não existe “estado ligado” sem potencial que confine.
  2. Continuidade de e :
    • e , ok, é contínua.
    • Mas e : tem salto na derivada! Com essa derivada devia ser contínua.
      Então esse “ansatz” quebra a condição de derivada contínua em , além de prever energia negativa para um caso livre.

Resposta

A função satisfaz a equação de Schrödinger livre em cada região se , mas não é solução física para partícula livre porque (i) ela implica energia negativa (incompatível com energia cinética ≥0) e (ii) sua derivada salta em , violando as condições de contorno para .

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