40.63 • DADOS Quando elétrons de baixa energia passam por um gás ionizado, elétrons de certas energias passam através do gás como se os átomos do gás não estivessem lá e então possuem coeficientes de transmissão (probabilidades de tunelamento) T igual a 1 . Os íons de gás podem ser modelados aproximadamente como uma barreira retangular. O valor de T=1 ocorre quando um número inteiro ou semi-inteiro de comprimentos de onda de De Broglie do elétron, quando este passa pela barreira, é igual à largura L da barreira. Você está planejando uma experiência para medir esse efeito. Para auxiliá-lo ao projetar
Figura P40.60 o aparato necessário, considere as energias E dos elétrons que resultarão em T=1. Assuma uma barreira com altura de 10 eV com uma largura de 1,8 times 10^-10 m. Calcule os três valores mais baixos de E para os quais T=1.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão pede. Temos um “barrier” (barreira) retangular de altura V0=10,eV e largura L=1,8times10^-10,m. A ideia é achar as energias E dos elétrons que passam pela barreira com transmissão perfeita ( T=1).
Conteúdo: mecânica quântica (túnel e condição de ressonância), comprimento de onda de De Broglie e ondas estacionárias na barreira. Vamos precisar da massa do elétron m, da constante de Planck reduzida hbar e da relação onda–partícula lambda = h/p para montar a condição de ressonância e daí obter E.

Passo 2

Quando o elétron tem energia E>V0 a região interna da barreira vira um “poço” onde a função de onda oscila com número de onda
k = raiz2m,(E - V0)hbar,
Para haver ressonância (transmissão total), a largura L deve conter um número inteiro de meios-comprimentos de onda:
k,L = npi,, n=1,2,3,dots
Isso equivale a dizer que caibam exatamente tfracn2 comprimentos de onda dentro de L.

Passo 3

Da condição k,L = npi temos
raiz2m,(En-V0)hbar,L = npi Longrightarrow En = V0 ;+;n^2,pi^2,hbar^22,m,L^2,

Passo 4

Basta agora pôr valores (convertendo tudo para joules onde necessário):
  • V0=10,eV
  • m = 9,11times10^-31,kg
  • hbar = 1,055times10^-34,J·s
  • L = 1,8times10^-10,m
O termo extra é
De
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E1=10 + 11,6 = 21,6 eV,
E2=10 + 4,De
E3=10 + 9,De

Resposta

Os três valores mais baixos de energia para os quais T=1 são aproximadamente:
E1approx21,6 eV, E2approx56,4 eV, E3approx114,4 eV

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