( 40 % ) De acordo com o teorema do erro da Série de Taylor visto em sala, temos:
f(x)=f(a)+f^prime(a)(x-a)+ldots+f^(n)(a)(n)!(x-a)^n+Rn(x)
com Rn(x) <= M(n+1)!|(x-a)|^n+1, sendo M uma cota superior para o maior valor que |f^n+1(x)| assume no intervalo entre a e x (ou x e a )
(a) ( 15 % ) Utilizando série de Taylor centrada em a=0 para a função f(x)=e^-3 x, determinar uma aproximação de grau 3(T3(x)) para f(2).
(b) ( 5 % ) Utilizando o valor de f(2)=0,002478752 e com a aproximação determinada na letra a), determine o erro absoluto (EA(x)=|f(x)-T3(x)|).
© ( 20 % ) Sabendo que f^4(x) é decrescente no intervalo 0 <= x <= 2, determine uma estimativa para o erro absoluto utilizando o teorema do erro.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a Série de Taylor e o teorema do erro. A questão nos pede para trabalhar com a função $ f(x) = e^{-3x} $ e usar a série de Taylor centrada em $ a = 0 $ para aproximar $ f(2) $. Além disso, vamos calcular o erro dessa aproximação tanto com o valor exato quanto usando o teorema do erro. Para isso, vamos precisar entender como construir a série de Taylor e como aplicar o teorema do erro para estimar a diferença entre a função real e a aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos construir a série de Taylor de $ f(x) = e^{-3x} $ centrada em $ a = 0 $. A série de Taylor de uma função $ f $ em torno de $ a $ é dada por:
f(x) = e^-3x
Como queremos uma aproximação de grau 3, vamos considerar os primeiros quatro termos (até a terceira derivada).

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de $ f(x) = e^{-3x} $ e avaliá-las em $ a = 0 $:
  1. $ f(x) = e^{-3x} $
    $ f(0) = e^{0} = 1 $
  2. $ f’(x) = -3e^{-3x} $
    $ f’(0) = -3e^{0} = -3 $
  3. $ f’’(x) = 9e^{-3x} $
    $ f’’(0) = 9e^{0} = 9 $
  4. $ f’’’(x) = -27e^{-3x} $
    $ f’’’(0) = -27e^{0} = -27 $

Passo 4

Agora, substituímos esses valores na série de Taylor até o terceiro termo:
T3(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)2!x^2 + f'''(0)3!x^3
Substituindo os valores:
T3(x) = 1 + (-3)x + 92x^2 + -276x^3
Simplificando:
T3(x) = 1 - 3x + 92x^2 - 92x^3

Passo 5

Agora que temos a aproximação $ T_3(x) $, vamos calcular $ T_3(2) $:
T3(x)
Calculando cada termo:
T3(2)
T3(2) = 1 - 3(2) + 92(2)^2 - 92(2)^3
1 - 6 + 92 times 4 - 92 times 8

Passo 6

Portanto, a aproximação de grau 3 para $ f(2) $ é $ T_3(2) = -23 $.

Passo 7

Agora, na letra (b), queremos calcular o erro absoluto $ E_A(2) = |f(2) - T_3(2)| $. Sabemos que $ f(2) = 0,002478752 $ e $ T_3(2) = -23 $:
EA(2) = |f(2) - T3(2)|

Passo 8

Por fim, na letra ©, vamos usar o teorema do erro da Série de Taylor para estimar $ E_A(2) $. O teorema nos diz que:
EA(2)
Neste caso, $ n = 3 $, $ a = 0 $, $ x = 2 $, e $ M $ é uma cota para $ |f^{(4)}(x)| $ no intervalo de 0 a 2. Calculando a quarta derivada:
|Rn(x)| <= M(n+1)!|x-a|^n+1
Como $ e^{-3x} $ é decrescente, o máximo valor de $ |f^{(4)}(x)| $ no intervalo [0,2] ocorre em $ x = 0 $:
n = 3
Agora, aplicando o teorema do erro:
a = 0

Resposta

(a) A aproximação de grau 3 para $ f(2) $ é $ T_3(2) = -23 $.
(b) O erro absoluto é $ E_A(2) = 23,002478752 $.
© A estimativa para o erro absoluto usando o teorema do erro é $ E_A(2) \leq 54 $.

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