Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a Série de Taylor e o teorema do erro. A questão nos pede para trabalhar com a função $ f(x) = e^{-3x} $ e usar a série de Taylor centrada em $ a = 0 $ para aproximar $ f(2) $. Além disso, vamos calcular o erro dessa aproximação tanto com o valor exato quanto usando o teorema do erro. Para isso, vamos precisar entender como construir a série de Taylor e como aplicar o teorema do erro para estimar a diferença entre a função real e a aproximação.
Passo 2
Primeiro, vamos construir a série de Taylor de $ f(x) = e^{-3x} $ centrada em $ a = 0 $. A série de Taylor de uma função $ f $ em torno de $ a $ é dada por:
f(x) = e^-3x
Como queremos uma aproximação de grau 3, vamos considerar os primeiros quatro termos (até a terceira derivada).
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de $ f(x) = e^{-3x} $ e avaliá-las em $ a = 0 $: