Para cada uma das funções a seguir determine se ela é admissível. Caso seja, use a definição para calcular sua transformada de Laplace:
x, & 0 <= x <= 1, 3-x, & 1;

Passo 1

Temos a função
f(x)= x,&0<= x<=1, 3-x,&1
Conteúdo: transformada de Laplace. Precisamos verificar se f é admissível (contínua por partes e de ordem exponencial) e então usar
Lf(x)=integral0^infty e^-s xf(x),dx

Passo 2

Verificar continuidade por partes: f(x) está definida em três intervalos com descontinuidades apenas em x=1 e x=2 (finitas), logo f é contínua por partes em [0,∞).

Passo 3

Verificar ordem exponencial: para x≥2, f(x)=1, então |f(x)|≤1=1·e^{0·x}. Assim f é de ordem exponencial (M=1, a=0).

Passo 4

Como f é admissível, quebramos a integral da transformada em três partes:
Lf(x)=integral0^1 x e^-s xdx+integral1^2 (3-x)e^-s xdx+integral2^infty e^-s xdx

Passo 5

Calcular integral0^1 x e^-s xdx por partes: seja u=x, dv=e^-s xdx, então
integral0^1 x e^-s xdx=[-x e^-s xs]0^1+integral0^1e^-s xs dx=1s^2-(s+1)e^-ss^2

Passo 6

Calcular integral1^2 (3-x)e^-s xdx escrevendo
integral1^2 (3-x)e^-s xdx=integral1^2 3e^-s xdx-integral1^2 x e^-s xdx
e, por integrações por partes e avaliação de 1 a 2, obtemos
2e^-s-e^-2ss+e^-2s-e^-ss^2

Passo 7

Calcular integral2^infty e^-s xdx:
integral2^infty e^-s xdx=[-e^-s xs]2^infty=e^-2ss

Passo 8

Somar as três partes e simplificar os termos em e^{-s} e e^{-2s}, resultando em
Lf(x)=1s^2+s-2s^2e^-s+e^-2ss^2

Resposta

Lf(x)=1s^2+s-2s^2e^-s+e^-2ss^2

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