Para cada uma das funções a seguir determine se ela é admissível. Caso seja, use a definição para calcular sua transformada de Laplace: ;
Passo 1
Temos a função
f(x)= x,&0<= x<=1, 3-x,&1
Conteúdo: transformada de Laplace. Precisamos verificar se f é admissível (contínua por partes e de ordem exponencial) e então usar
Lf(x)=integral0^infty e^-s xf(x),dx
Passo 2
Verificar continuidade por partes: f(x) está definida em três intervalos com descontinuidades apenas em x=1 e x=2 (finitas), logo f é contínua por partes em [0,∞).
Passo 3
Verificar ordem exponencial: para x≥2, f(x)=1, então |f(x)|≤1=1·e^{0·x}. Assim f é de ordem exponencial (M=1, a=0).
Passo 4
Como f é admissível, quebramos a integral da transformada em três partes:
Lf(x)=integral0^1 x e^-s xdx+integral1^2 (3-x)e^-s xdx+integral2^infty e^-s xdx
Passo 5
Calcular integral0^1 x e^-s xdx por partes: seja u=x, dv=e^-s xdx, então
integral0^1 x e^-s xdx=[-x e^-s xs]0^1+integral0^1e^-s xs dx=1s^2-(s+1)e^-ss^2
Passo 6
Calcular integral1^2 (3-x)e^-s xdx escrevendo
integral1^2 (3-x)e^-s xdx=integral1^2 3e^-s xdx-integral1^2 x e^-s xdx
e, por integrações por partes e avaliação de 1 a 2, obtemos
2e^-s-e^-2ss+e^-2s-e^-ss^2
Passo 7
Calcular integral2^infty e^-s xdx:
integral2^infty e^-s xdx=[-e^-s xs]2^infty=e^-2ss
Passo 8
Somar as três partes e simplificar os termos em e^{-s} e e^{-2s}, resultando em