(
) Determine a série de Taylor centrada em
para:
(a)
(b)
Determine o raio de convergência para a série de potências encontrada na letra a).
(a)
(b)
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre Séries de Taylor, mais especificamente a série centrada em $ a = 0 $, conhecida também como Série de Maclaurin. Precisamos determinar a série de Taylor para a função $ f(x) = \frac{1}{1 + 2x} $ e, na sequência, encontrar o raio de convergência dessa série.
Passo 2
Primeiro, lembremos que a Série de Taylor de uma função $ f(x) $ centrada em $ a = 0 $ (Série de Maclaurin) é uma forma de expressar $ f(x) $ como uma soma infinita de termos da forma $ c_n x^n $, onde $ c_n $ são os coeficientes da série.
Passo 3
Observando a função dada:
Podemos reescrever essa função para facilitar a aplicação da fórmula da série geométrica, que é uma série conhecida e cujo comportamento de convergência está bem definido.
Passo 4
A fórmula da série geométrica é:
Para aplicar isso à nossa função, precisamos colocá-la na forma $ \frac{1}{1 - r} $. Veja como:
Aqui, identificamos que $ r = -2x $.
Passo 5
Agora, aplicando a fórmula da série geométrica à nossa função reescrita:
Portanto, essa é a Série de Taylor centrada em $ a = 0 $ para a função $ f(x) $.
Passo 6
Para determinar o raio de convergência dessa série, usamos a condição da série geométrica que exige que:
Substituindo $ r = -2x $:
Isso significa que a série converge quando $ x $ está dentro do intervalo $ (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) $, e o raio de convergência é:
Resposta
(a) A série de Taylor centrada em $ a = 0 $ para $ f(x) = \frac{1}{1 + 2x} $ é:
(b) O raio de convergência para essa série é $ R = \frac{1}{2} $.