( 40 % ) Determine a série de Taylor centrada em a=0 para:
(a) (20 %) f(x)=11+2 x
(b) (20 %) Determine o raio de convergência para a série de potências encontrada na letra a).

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre Séries de Taylor, mais especificamente a série centrada em $ a = 0 $, conhecida também como Série de Maclaurin. Precisamos determinar a série de Taylor para a função $ f(x) = \frac{1}{1 + 2x} $ e, na sequência, encontrar o raio de convergência dessa série.

Passo 2

Primeiro, lembremos que a Série de Taylor de uma função $ f(x) $ centrada em $ a = 0 $ (Série de Maclaurin) é uma forma de expressar $ f(x) $ como uma soma infinita de termos da forma $ c_n x^n $, onde $ c_n $ são os coeficientes da série.

Passo 3

Observando a função dada:
f(x) = 11 + 2x
Podemos reescrever essa função para facilitar a aplicação da fórmula da série geométrica, que é uma série conhecida e cujo comportamento de convergência está bem definido.

Passo 4

A fórmula da série geométrica é:
11 - r = sumn=0^infty r^n quando |r| < 1
Para aplicar isso à nossa função, precisamos colocá-la na forma $ \frac{1}{1 - r} $. Veja como:
11 - r
Aqui, identificamos que $ r = -2x $.

Passo 5

Agora, aplicando a fórmula da série geométrica à nossa função reescrita:
f(x) = 11 - (-2x) = sumn=0^infty (-2x)^n = sumn=0^infty (-2)^n x^n
Portanto, essa é a Série de Taylor centrada em $ a = 0 $ para a função $ f(x) $.

Passo 6

Para determinar o raio de convergência dessa série, usamos a condição da série geométrica que exige que:
|r| < 1
Substituindo $ r = -2x $:
r = -2x
Isso significa que a série converge quando $ x $ está dentro do intervalo $ (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) $, e o raio de convergência é:
| -2x | < 1 implies |x| < 12

Resposta

(a) A série de Taylor centrada em $ a = 0 $ para $ f(x) = \frac{1}{1 + 2x} $ é:
a = 0
(b) O raio de convergência para essa série é $ R = \frac{1}{2} $.

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