8.40 ! Um cabo coaxial possui raios a e b, onde a<b. Um material de permeabilidade \mu_{r} \neq 1 existe na região a<\rho<c, enquanto a região c<\rho<b é preenchida com ar. Determine uma expressão para a indutância por unidade de comprimento.

Passo 1

O enunciado descreve um cabo coaxial de raio interno a e externo b. Na região a<\rho<c há um material magnético de permeabilidade \mu=\mu_{r}\mu_{0} e na região c<\rho<b há ar \mu=\mu_{0}. O objetivo é calcular a indutância por unidade de comprimento L'. Vamos usar o método da energia magnética por unidade de comprimento.

Passo 2

Pela Lei de Ampère, o campo magnético azimutal em qualquer raio \rho (entre a e b) é
H_{\varphi}(\rho)=\frac{I}{2\pi\,\rho}\,,
onde I é a corrente no condutor interno.

Passo 3

A densidade de energia magnética é
u(\rho)=\frac{1}{2}\,B(\rho)\,H(\rho) =\frac{1}{2}\,\mu(\rho)\,H(\rho)^{2}\,.
Por unidade de comprimento, o elemento de volume é dV=2\pi\,\rho\,d\rho, logo a energia por comprimento é
W'=\int_{a}^{b}u(\rho)\,2\pi\,\rho\,d\rho =\int_{a}^{c}\frac{1}{2}\,\mu_{r}\mu_{0}\Bigl(\frac{I}{2\pi\rho}\Bigr)^{2}2\pi\,\rho\,d\rho +\int_{c}^{b}\frac{1}{2}\,\mu_{0}\Bigl(\frac{I}{2\pi\rho}\Bigr)^{2}2\pi\,\rho\,d\rho.

Passo 4

Simplificando cada integral:
W' =\frac{I^{2}}{4\pi}\,\mu_{0}\Bigl[\mu_{r}\int_{a}^{c}\frac{d\rho}{\rho} +\int_{c}^{b}\frac{d\rho}{\rho}\Bigr] =\frac{I^{2}\,\mu_{0}}{4\pi}\Bigl[\mu_{r}\ln\frac{c}{a}+\ln\frac{b}{c}\Bigr].

Passo 5

Como por definição W'=\tfrac12\,L'\,I^{2}, temos
L'=\frac{2W'}{I^{2}} =\frac{\mu_{0}}{2\pi}\Bigl[\mu_{r}\ln\frac{c}{a}+\ln\frac{b}{c}\Bigr].

Resposta

L'=\frac{\mu_{0}}{2\pi}\Bigl[\mu_{r}\ln\frac{c}{a}+\ln\frac{b}{c}\Bigr].

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