Considere um elétron em um átomo de Hidrogênio com raio de orbita de r=5.29 \times 10^{-11} m. Qual é o valor do dipolo magnético gerado pela orbita do elétron (use a carga do elétron sendo 1.602 \times 10^{-19} C \mathrm{e} massa do elétron de 9.109 \times 10^{-31} \mathrm{Kg} )? [Dê sua resposta em A . m^{2} ]
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Passo 1

O enunciado pede o momento de dipolo magnético gerado por um elétron descrevendo uma órbita circular de raio r=5{,}29\times10^{-11}\,\mathrm{m}. O conteúdo que vamos usar é o modelo de Bohr, em que o elétron se comporta como uma corrente elétrica em laço circular. Precisamos das fórmulas de momento de dipolo magnético para uma corrente estacionária e da quantização do momento angular de Bohr.

Passo 2

Num laço circular de raio r, a corrente elétrica é
I = \frac{q}{T},
onde q=e e T é o período da órbita. No modelo de Bohr, o momento angular é quantizado:
L = m_e v\,r = \hbar.
Dessa relação segue
v = \frac{\hbar}{m_e\,r} \quad\text{e}\quad T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi m_e r^2}{\hbar}.
Assim,
I = \frac{e}{T} = \frac{e\,\hbar}{2\pi\,m_e\,r^2}.
A área do laço é A = \pi r^2. O momento de dipolo magnético é
\mu = I\,A = \frac{e\,\hbar}{2\pi\,m_e\,r^2}\,\bigl(\pi r^2\bigr) = \frac{e\,\hbar}{2\,m_e}.

Passo 3

Agora substituímos os valores numéricos:
e = 1{,}602\times10^{-19}\,\mathrm{C}, \quad \hbar = 1{,}055\times10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}, \quad m_e = 9{,}109\times10^{-31}\,\mathrm{kg}.
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\mu = \frac{1{,}602\times10^{-19}\times1{,}055\times10^{-34}}{2\times9{,}109\times10^{-31}} \approx 9{,}27\times10^{-24}\,\mathrm{A\cdot m^2}.

Resposta

O momento de dipolo magnético vale aproximadamente
9,27\times10^{-24}\,\mathrm{A\cdot m^2}.

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