Ar a 40^{\circ} \mathrm{C} e 1 atm , com uma concentração de vapor d’água de 0,014 \mathrm{kmol} / \mathrm{m}^{3}, escoa com uma velocidade média de corrente livre de 2,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ao longo de uma placa molhada na sua superfície superior, que tem 8 m de comprimento, a fim de secar a superfície da placa. A concentração do vapor d’água na superfície da placa molhada é de 0,072 \mathrm{kmol} / \mathrm{m}^{3}. O coeficiente de difusão binária do vapor d’água no ar, a 313 K , é de 2,77 \times 10^{-5} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}. Determine o fluxo mássico ( \mathrm{kg} /\left(\mathrm{s} . \mathrm{m}^{2}\right) ) convectivo de evaporação da água da superfície molhada da placa para o ar.
\text { (Resposta: } n_{A}^{\prime \prime}=5,37 \times 10^{-3} \mathrm{~kg} /\left(\mathrm{s.m}^{2}\right)

Passo 1

Enunciado e dados relevantes (vou listar tudo direitinho para não nos perdermos). Pedem o fluxo mássico convectivo de evaporação da água da superfície molhada da placa para o ar, em unidades de \mathrm{kg}/(\mathrm{s}\cdot\mathrm{m}^{2}). Dados fornecidos:
\begin{aligned} &\text{Temperatura do ar: }40^\circ\mathrm{C}=313\\ \mathrm{K},\\\ &\text{Pressão: }1\\ \mathrm{atm}=101325\\ \mathrm{Pa},\\\ &\text{Concentração de vapor no escoamento (bulk): }C_\infty=0{,}014\\ \mathrm{kmol}/\mathrm{m}^{3},\\\ &\text{Concentração de vapor na superfície molhada: }C_s=0{,}072\\ \mathrm{kmol}/\mathrm{m}^{3},\\\ &\text{Velocidade média do escoamento (corrente livre): }U=2{,}5\\ \mathrm{m}/\mathrm{s},\\\ &\text{Comprimento da placa: }L=8\\ \mathrm{m},\\\ &\text{Difusividade binária }D_{AB}=2{,}77\times 10^{-5}\\ \mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}\\ (\text{a }313\\ \mathrm{K}),\\\ &\text{Massa molar da água: }M_W=18{,}015\\ \mathrm{kg}/\mathrm{kmol}. \end{aligned}ãçãçãíéáá
O que precisamos calcular: o fluxo mássico convectivo de evaporação da água da superfície da placa para o ar, isto é, n_A^{\prime\prime} em \mathrm{kg}/(\mathrm{s}\cdot\mathrm{m}^{2}).

Passo 2

Ideia física e método escolhido (passo-a-passo do raciocínio). Vou explicar a física devagar: a troca de massa da superfície para o ar é controlada pela convecção/difusão na camada limite. A maneira prática de calcular o fluxo é obter um coeficiente convectivo de massa médio k_c e usar a lei do resgate análoga à lei de Newton para transferência de massa:
\dot N_A^{\prime\prime}=k_c\,(C_s-C_\infty),
onde \dot N_A^{\prime\prime} é o fluxo molar (em \mathrm{kmol}/(\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{s})) e C está em \mathrm{kmol}/\mathrm{m}^3. Depois convertemos para massa com M_W.
Para obter k_c usamos a correlação adimensional Sherwood:
\mathrm{Sh}=\frac{k_c\,L}{D_{AB}}.
Para escoamento sobre placa plana há correlações dependentes de Reynolds e Schmidt. Primeiro calculamos o número de Reynolds de placa:
\mathrm{Re}_L=\frac{U L}{\nu},
e o número de Schmidt
\mathrm{Sc}=\frac{\nu}{D_{AB}},
onde \nu é a viscosidade cinemática do ar. Se \mathrm{Re}_L indicar que há transição (isto é, \mathrm{Re}_L>\!5\times10^5), a camada limite é laminar numa região inicial e depois turbulenta; então devemos combinar a contribuição laminar (de x=0 até x=x_c tal que \mathrm{Re}_{x_c}=5\times10^5) com a turbulenta (de x_c até L). Vou usar as correlações locais (análogo de Nu para massa):
  • Região laminar (local):
\mathrm{Sh}_x^{\text{lam}}=0{,}332\,\mathrm{Re}_x^{1/2}\,\mathrm{Sc}^{1/3},
onde \mathrm{Re}_x=U x/\nu.
  • Região turbulenta (local), forma prática usada:
\mathrm{Sh}_x^{\text{turb}}=0{,}0296\,\mathrm{Re}_x^{4/5}\,\mathrm{Sc}^{1/3}.
Essas expressões fornecem k(x)=\mathrm{Sh}_x D_{AB}/x. Calculamos a média ao longo de 0\le x\le L por integração:
k_{c,\text{avg}}=\frac{1}{L}\left(\int_0^{x_c} k_{\text{lam}}(x)\,dx + \int_{x_c}^{L} k_{\text{turb}}(x)\,dx\right).
Vou calcular explicitamente essas integrais e obter k_{c,\text{avg}}, depois \dot N_A^{\prime\prime} e finalmente n_A^{\prime\prime} em kg/(s·m^2). Não fique assustado: vamos fazer passo a passo.

Passo 3

Propriedades do ar a 313\\ \mathrm{K} (cálculo): densidade \rho pelo gás ideal e viscosidade dinâmica \mu pela fórmula de Sutherland (resultados numéricos mostrados).
Densidade (gás ideal):
\rho=\frac{p}{R_\text{ar}T}=\frac{101325}{287\cdot 313}=1{,}1279\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.
Viscosidade dinâmica: uso a fórmula de Sutherland a partir de \mu_0=1{,}846\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s} a T_0=300\\ \mathrm{K} e S=110{,}4\\ \mathrm{K}:
\mu=\mu_0\left(\frac{T}{T_0}\right)^{3/2}\frac{T_0+S}{T+S}.
Colocando T=313\\ \mathrm{K}:
\mu\approx 1{,}846\times10^{-5}\left(\frac{313}{300}\right)^{3/2}\frac{300+110{,}4}{313+110{,}4}\approx 1{,}906\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
Logo a viscosidade cinemática:
\nu=\frac{\mu}{\rho}=\frac{1{,}906\times10^{-5}}{1{,}1279}\approx 1{,}69\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
(Sei que são muitas constantes; o importante é que agora temos \rho, \mu, \nu.)

Passo 4

Cálculo de \mathrm{Re}_L, \mathrm{Sc} e posição de transição x_c.
\mathrm{Re}_L=\frac{U L}{\nu}=\frac{2{,}5\cdot 8}{1{,}69\times10^{-5}}\approx 1{,}183\times 10^{6}.
Como \mathrm{Re}_L>\!5\times10^{5}, temos região inicial laminar seguida de turbulenta.
Posição de transição x_c tal que \mathrm{Re}_{x_c}=5\times10^{5}:
x_c=\frac{\mathrm{Re}_{\text{crit}}\cdot \nu}{U}=\frac{5\times10^{5}\cdot 1{,}69\times10^{-5}}{2{,}5}\approx 3{,}38\\ \mathrm{m}.
Número de Schmidt:
\mathrm{Sc}=\frac{\nu}{D_{AB}}=\frac{1{,}69\times10^{-5}}{2{,}77\times10^{-5}}\approx 0{,}610,
logo
\mathrm{Sc}^{1/3}\approx 0{,}848.

Passo 5

Montagem das integrais para k_{c,\text{avg}} e simplificação das expressões.
Na região laminar (usando \mathrm{Sh}_x=0{,}332\mathrm{Re}_x^{1/2}\mathrm{Sc}^{1/3}) obtemos
k_{\text{lam}}(x)=\frac{\mathrm{Sh}_x D_{AB}}{x}=0{,}332\,D_{AB}\,\mathrm{Sc}^{1/3}\,\frac{(U/\nu)^{1/2}}{x^{1/2}}.
Integrando de 0 a x_c:
\int_0^{x_c} k_{\text{lam}}(x)\,dx =0{,}332\,D_{AB}\,\mathrm{Sc}^{1/3}\,(U/\nu)^{1/2}\int_0^{x_c} x^{-1/2}\,dx =0{,}664\,D_{AB}\,\mathrm{Sc}^{1/3}\,(U/\nu)^{1/2}\,x_c^{1/2}.
Na região turbulenta (usando \mathrm{Sh}_x=0{,}0296\mathrm{Re}_x^{4/5}\mathrm{Sc}^{1/3}) obtemos
k_{\text{turb}}(x)=\frac{\mathrm{Sh}_x D_{AB}}{x} =0{,}0296\,D_{AB}\,\mathrm{Sc}^{1/3}\,(U/\nu)^{4/5}\,x^{-1/5}.
Integrando de x_c a L:
\int_{x_c}^{L} k_{\text{turb}}(x)\,dx =0{,}0296\,D_{AB}\,\mathrm{Sc}^{1/3}\,(U/\nu)^{4/5}\int_{x_c}^{L} x^{-1/5}\,dx
=0{,}0296\,D_{AB}\,\mathrm{Sc}^{1/3}\,(U/\nu)^{4/5}\cdot\frac{5}{4}\left(L^{4/5}-x_c^{4/5}\right).
Finalmente,
k_{c,\text{avg}}=\frac{1}{L}\left[\;0{,}664\,D_{AB}\,\mathrm{Sc}^{1/3}\,(U/\nu)^{1/2}\,x_c^{1/2} +0{,}0296\,D_{AB}\,\mathrm{Sc}^{1/3}\,(U/\nu)^{4/5}\cdot\frac{5}{4}\left(L^{4/5}-x_c^{4/5}\right)\right].

Passo 6

Cálculo numérico de cada termo (vou avaliar as potências e multiplicações com calma):
Valores já obtidos:
D_{AB}=2{,}77\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s},\quad \mathrm{Sc}^{1/3}\approx 0{,}848,
(U/\nu)^{1/2}=(2{,}5/1{,}69\times10^{-5})^{1/2}=(1{,}48\times10^{5})^{1/2}\approx 385{,}0,
mas prefiro calcular diretamente em cada passo para evitar erro de arredondamento; vamos usar os valores já organizados:
Primeiro termo (laminar):
T_1=0{,}664\;D_{AB}\;\mathrm{Sc}^{1/3}\;(U/\nu)^{1/2}\;x_c^{1/2}.
Avaliação numérica:
D_{AB}\mathrm{Sc}^{1/3}=2{,}77\times10^{-5}\cdot 0{,}848\approx 2{,}35\times10^{-5}.
(U/\nu)^{1/2}=\sqrt{\frac{2{,}5}{1{,}69\times10^{-5}}}\approx 385{,}0,
x_c^{1/2}=\sqrt{3{,}38}\approx 1{,}839.
Portanto
T_1\approx 0{,}664\cdot 2{,}35\times10^{-5}\cdot 385{,}0\cdot 1{,}839\approx 1{,}103\times10^{-2}\\ \mathrm{m/s}.
Segundo termo (turbulento):
T_2=0{,}0296\;D_{AB}\;\mathrm{Sc}^{1/3}\;(U/\nu)^{4/5}\cdot\frac{5}{4}\left(L^{4/5}-x_c^{4/5}\right).
Cálculos intermediários:
(U/\nu)^{4/5}=\left(\frac{2{,}5}{1{,}69\times10^{-5}}\right)^{4/5}\approx \left(1{,}48\times10^{5}\right)^{0{,}8}\approx 2{,}082^{?}\times 10^{?}
(para não se perder com logs, avaliei numericamente)
(U/\nu)^{4/5}\approx (1{,}48\times10^{5})^{0{,}8}\approx 3{,}29\times10^{3}\\ (\text{valor usado nas contas}).
Agora
L^{4/5}=8^{4/5}\approx 5{,}335,\qquad x_c^{4/5}\approx 3{,}38^{4/5}\approx 2{,}648,
L^{4/5}-x_c^{4/5}\approx 2{,}687.
Logo
T_2\approx 0{,}0296\cdot 2{,}35\times10^{-5}\cdot 3{,}29\times10^{3}\cdot\frac{5}{4}\cdot 2{,}687 \approx 3{,}201\times10^{-2}\\ \mathrm{m/s}.
Soma das integrais:
\int_0^{x_c}k_{\text{lam}}\,dx+\int_{x_c}^{L}k_{\text{turb}}\,dx \approx T_1+T_2\approx 0{,}01103+0{,}03201=0{,}04304\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}??
(na prática é uma soma com unidades de \mathrm{m/s}\cdot\mathrm{m}^{0}, que depois dividimos por L e obtemos k_c em \mathrm{m/s}.)
Agora a média:
k_{c,\text{avg}}=\frac{T_1+T_2}{L}=\frac{0{,}04304}{8}\approx 5{,}38\times10^{-3}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
(Se quiser, você pode ver que k_c é da ordem de 10^{-3}\\ \mathrm{m/s}, que é típico para convecção ar/vapor.)

Passo 7

Cálculo do fluxo molar e conversão para fluxo mássico.
Fluxo molar (em \mathrm{kmol}/(\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{s})):
\dot N_A^{\prime\prime}=k_{c,\text{avg}}\,(C_s-C_\infty) =5{,}38\times10^{-3}\cdot(0{,}072-0{,}014)\\ \mathrm{kmol}/\mathrm{m}^{3}.
C_s-C_\infty=0{,}058\\ \mathrm{kmol}/\mathrm{m}^{3}.
Logo
\dot N_A^{\prime\prime}\approx 5{,}38\times10^{-3}\cdot 0{,}058\approx 3{,}12\times10^{-4}\\ \mathrm{kmol}/(\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{s}).
Convertendo para fluxo mássico (multiplicando por M_W):
n_A^{\prime\prime}=\dot N_A^{\prime\prime}\cdot M_W \approx 3{,}12\times10^{-4}\cdot 18{,}015\\ \mathrm{kg}/(\mathrm{s}\cdot\mathrm{m}^{2}) \approx 5{,}62\times10^{-3}\\ \mathrm{kg}/(\mathrm{s}\cdot\mathrm{m}^{2}).

Passo 8

Interpretação e verificação rápida: o valor encontrado está na casa de 10^{-3}\\ \mathrm{kg}/(\mathrm{s}\cdot\mathrm{m}^{2}), coerente com problemas de secagem convectiva. Pequenas diferenças com resultados de referências podem vir de escolhas ligeiramente diferentes para \mu, aproximações nas constantes das correlações ou uso de correlações médias em vez da integração laminar+turbulenta. O procedimento que segui é o recomendado para provas: calcular propriedades, identificar regime (Re), escolher correlações locais, integrar para obter média e converter unidades.

Resposta

5,62\times 10{-3} \mathrm{kg}/(\mathrm{s}\cdot\mathrm{m}{2})

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