4 { }^{\circ} Questão (2,5 Pontos): Uma casa possui uma parede composta com camadas de madeira \left(k=0,3 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C}\right. e espessura 20 mm ), isolamento à base de fibra de vidro ( k=0,03 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C} e espessura 250 mm ) e placa de gesso ( k=0,17 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C} e espessura 20 mm ). Em um dia frio de inverno, os coeficientes de transferência de calor por convecção são hexterno 55 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2}{ }^{\circ} \mathrm{C}\right) e hinterno 5 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2 \circ} \mathrm{C}\right). As temperaturas do ar interno e externo são, respectivamente, 30^{\circ} \mathrm{C} e -15^{\circ} \mathrm{C}. A área total da superficie da parede é de 350 \mathrm{~m}^{2}. Sabendo que as camadas interna e externa são formadas pelos respectivos materiais gesso e madeira, determine a perda total de calor através da parede. Se o vento soprar violentamente, aumentando hexterno para 950 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2}\right. { }^{\circ} \mathrm{C} ), determine o aumento percentual na perda de calor.

Passo 1

O que o exercício pede:
  • Determinar a perda total de calor através da parede (potência térmica perdida) nas condições iniciais.
  • Se o vento aumentar e elevar h_{\text{externo}} para 950\\ \mathrm{W/(m^{2}\,^{\circ}C)}, determinar o aumento percentual na perda de calor.
Dados fornecidos (vou listar tudo para não perder nada):
  • Espessura e condutividade térmica das camadas (converti espessuras de mm para m): \text{Madeira (externa): } k_{1}=0{,}3\\ \mathrm{W/(m\,^{\circ}C)},\quad L_{1}=20\\ \mathrm{mm}=0{,}02\\ \mathrm{m}
\text{Fibra de vidro: } k_{2}=0{,}03\\ \mathrm{W/(m\,^{\circ}C)},\quad L_{2}=250\\ \mathrm{mm}=0{,}25\\ \mathrm{m}
\text{Gesso (interna): } k_{3}=0{,}17\\ \mathrm{W/(m\,^{\circ}C)},\quad L_{3}=20\\ \mathrm{mm}=0{,}02\\ \mathrm{m}
  • Coeficientes de convecção: h_{\text{externo, inicial}}=55\\ \mathrm{W/(m^{2}\,^{\circ}C)},\quad h_{\text{interno}}=5\\ \mathrm{W/(m^{2}\,^{\circ}C)}(no segundo caso h_{\text{externo}}=950\\ \mathrm{W/(m^{2}\,^{\circ}C)})
  • Temperaturas do ar: T_{\text{interno}}=30{,}0\\ ^{\circ}\mathrm{C},\quad T_{\text{externo}}=-15{,}0\\ ^{\circ}\mathrm{C}Logo a diferença de temperatura é \Delta T = T_{\text{interno}}-T_{\text{externo}}=30-(-15)=45\\ ^{\circ}\mathrm{C}
  • Área total da parede: A=350\\ \mathrm{m^{2}}

Passo 2

Método e conceitos (aulas rápidas):
  • A transferência de calor através de uma parede multicamada, assumindo regime estacionário e fluxo unidimensional, é análoga a uma série de resistências térmicas.
  • Para uma camada de material com espessura L e condutividade k, a resistência térmica por unidade de área (ou resistência superficial) é R''_{\text{cond}}=\frac{L}{k}\quad\left(\mathrm{m^{2}\,^{\circ}C/W}\right).Aqui L é em metros e k em \mathrm{W/(m\,^{\circ}C)}.
  • Para convecção na superfície, a resistência por unidade de área é R''_{\text{conv}}=\frac{1}{h}\quad\left(\mathrm{m^{2}\,^{\circ}C/W}\right),onde h é o coeficiente de convecção em \mathrm{W/(m^{2}\,^{\circ}C)}.
  • As resistências por unidade de área somam em série: R''_{\text{total}}=R''_{\text{conv,ext}}+\sum R''_{\text{cond,camadas}}+R''_{\text{conv,int}}.
  • O fluxo de calor por unidade de área (fluxo de calor superficial) é q''=\frac{\Delta T}{R''_{\text{total}}}\quad\left(\mathrm{W/m^{2}}\right).
  • A potência térmica total perdida é Q=q''\cdot A\quad\left(\mathrm{W}\right).
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo com os números.

Passo 3

Resistência por unidade de área da convecção externa (caso inicial):
R''_{\text{conv,ext}}=\frac{1}{h_{\text{externo}}}=\frac{1}{55}=0{,}0181818181818\\ \mathrm{m^{2}\,^{\circ}C/W}.

Passo 4

Resistência da camada externa de madeira (condução):
R''_{\text{madeira}}=\frac{L_{1}}{k_{1}}=\frac{0{,}02}{0{,}3}=0{,}0666666666667\\ \mathrm{m^{2}\,^{\circ}C/W}.
Explicação curta: dividimos espessura pela condutividade — materiais mais grossos ou menos condutores aumentam a resistência.

Passo 5

Resistência da camada de fibra de vidro (condução):
R''_{\text{fibra}}=\frac{L_{2}}{k_{2}}=\frac{0{,}25}{0{,}03}=8{,}3333333333333\\ \mathrm{m^{2}\,^{\circ}C/W}.
Observação: isolamento com k muito baixo produz resistência grande — é a camada que domina a resistência térmica aqui.

Passo 6

Resistência da camada interna de gesso (condução):
R''_{\text{gesso}}=\frac{L_{3}}{k_{3}}=\frac{0{,}02}{0{,}17}=0{,}1176470588235\\ \mathrm{m^{2}\,^{\circ}C/W}.

Passo 7

Resistência por unidade de área da convecção interna:
R''_{\text{conv,int}}=\frac{1}{h_{\text{interno}}}=\frac{1}{5}=0{,}2\\ \mathrm{m^{2}\,^{\circ}C/W}.

Passo 8

Soma das resistências por unidade de área (caso inicial) e cálculo do fluxo e da perda total:
  • Somando: R''_{\text{total}}=0{,}0181818181818+0{,}0666666666667+8{,}3333333333333+0{,}1176470588235+0{,}2
R''_{\text{total}}=8{,}7358288770053\\ \mathrm{m^{2}\,^{\circ}C/W}.
  • Fluxo por unidade de área: q''=\frac{\Delta T}{R''_{\text{total}}}=\frac{45}{8{,}7358288770053}=5{,}1520060577297\\ \mathrm{W/m^{2}}.
  • Potência total perdida: Q=q''\cdot A=5{,}1520060577297\cdot 350=1{,}803{,}202\\ \mathrm{W}\approx 1{,}80\times 10^{3}\\ \mathrm{W}.
Interpretação: a parede perde cerca de 1{,}80\\ \mathrm{kW} nessas condições.

Passo 9

Caso com vento forte: h_{\text{externo}}=950\\ \mathrm{W/(m^{2}\,^{\circ}C)}.
  • Nova resistência externa de convecção: R''_{\text{conv,ext,new}}=\frac{1}{950}=0{,}00105263157895\\ \mathrm{m^{2}\,^{\circ}C/W}.
  • Nova soma das resistências: R''_{\text{total,new}}=0{,}00105263157895+0{,}0666666666667+8{,}3333333333333+0{,}1176470588235+0{,}2
R''_{\text{total,new}}=8{,}7186996904030\\ \mathrm{m^{2}\,^{\circ}C/W}.
  • Novo fluxo por unidade de área: q''_{\text{new}}=\frac{45}{8{,}7186996904030}=5{,}1626102954449\\ \mathrm{W/m^{2}}.
  • Nova potência total perdida: Q_{\text{new}}=q''_{\text{new}}\cdot A=5{,}1626102954449\cdot 350=1{,}806{,}914\\ \mathrm{W}\approx 1{,}81\times 10^{3}\\ \mathrm{W}.

Passo 10

Cálculo do aumento percentual na perda de calor:
\text{Aumento percentual}=\frac{Q_{\text{new}}-Q}{Q}\times 100\%=\frac{1{,}806{,}914-1{,}803{,}202}{1{,}803{,}202}\times 100\%
\text{Aumento percentual}=0{,}206\%\\ (\text{aprox.})
Comentário curto e incentivo: o aumento é muito pequeno porque a resistência dominante é a da fibra de vidro — aumentar a convecção externa pouco altera a resistência total. Boa! Você já tem o raciocínio para problemas parecidos: identifique a maior resistência e saiba que ela “domina” o comportamento térmico.

Resposta

Q=1{,}803\times 10^{3}\\ \mathrm{W}
\text{Aumento percentual}=0{,}206\%

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