\mathbf{3}^{\boldsymbol{\circ}} Questão (2,5 Pontos): Uma placa cerâmica (A) precisa passar por um procedimento para tratamento térmico, para isso a temperatura da face cerâmica, em contato com a placa aquecedora, deve ser igual a 125^{\circ} \mathrm{C}. Para manter essa temperatura, a placa cerâmica é aquecida por contato com a placa aquecedora (B), esse dispositivo é atravessado por uma corrente de 3 A, que gera uma taxa de calor uniforme unidade de volume. A face superior da camada cerâmica está em contato com o ar a uma temperatura de 30^{\circ} \mathrm{C}. Já a face inferior da placa aquecedora está perfeitamente isolada. Considerando que o coeficiente de transferência de calor por conveção do ar é igual a 5 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2 \circ} \mathrm{C} e que a resistência de contato entre as duas camadas é
calcule:
a temperatura da camada cerâmica em contato com o ar;
a quantidade de calor gerada na placa aquecedora;
a temperatura da camada inferior da placa aquecedora.
Considere os seguintes dados: A área total do conjunto (D) igual a 2 \mathrm{~m}^{2}; Espessura total do conjunto (L) igual a 10 cm , sendo a espessura da placa cerâmica corresponde a 60% desse total; condutividade térmica da placa cerâmica igual a 50 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C} e da placa aquecedora igual a 15 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C}.
Passo 1
O enunciado pede 3 coisas e dá vários dados. Vou listar explicitamente o que se pede e os dados usados (incluindo um valor que peguei da imagem indicada no enunciado).
Pedidos:
A temperatura da face superior da camada cerâmica (a face em contato com o ar).
A quantidade de calor gerada na placa aquecedora (energia por tempo, \dot{Q}).
A temperatura da face inferior da placa aquecedora (face oposta àquela em contato com a cerâmica).
Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado; o valor da resistência de contato foi extraído da imagem do enunciado):
Área total do conjunto: A = 2\\ \mathrm{m}^2.
Espessura total: L = 0{,}10\\ \mathrm{m}.
Espessura da placa cerâmica: L_c = 0{,}6L = 0{,}06\\ \mathrm{m}.
Espessura da placa aquecedora: L_h = 0{,}4L = 0{,}04\\ \mathrm{m}.
Condutividade térmica da cerâmica: k_c = 50\\ \mathrm{W/m\cdot ^\circ C}.
Coeficiente de convecção para o ar: h = 5\\ \mathrm{W/m^2\cdot ^\circ C}.
Temperatura da face da cerâmica em contato com a placa aquecedora (condição exigida): T_{i,A}=125^\circ\mathrm{C}. (isto é a temperatura no lado da cerâmica da interface cerâmica–aquecedor).
A face inferior da placa aquecedora está perfeitamente isolada (fluxo de calor zero nessa face).
A placa aquecedora é atravessada por corrente e gera calor volumétrico uniforme; como o problema é estacionário, todo o calor gerado sobe e é removido por convecção no topo.
Resistência térmica de contato entre as duas camadas (valor obtido da imagem do enunciado): R_c = 0{,}002\\ \mathrm{K/W}. (usei este valor porque aparece na figura do enunciado).
Observações importantes para a resolução:
Em regime permanente 1D, a taxa de calor total gerada na placa aquecedora \dot{Q} deve ser evacuada pela convecção no topo: \dot{Q}=hA\,(T_{s}-T_\infty), onde T_s é a temperatura da face superior da cerâmica.
A mesma taxa de calor atravessa a cerâmica por condução, portanto podemos montar resistências térmicas em série entre T_{i,A}=125^\circ\mathrm{C} e T_\infty.
Passo 2
Definir as resistências térmicas (explicando as fórmulas):
Resistência por condução através da cerâmica (formato planar, 1D):
R_{\text{cond},c}=\frac{L_c}{k_c A}.
Explicação: a lei de Fourier para condução em regime estacionário diz que \dot{Q} = \dfrac{T_{\text{entrada}}-T_{\text{saida}}}{R_{\text{cond}}}. Para uma camada plana, R_{\text{cond}}=L/(kA). Aqui L_c é a espessura da cerâmica, k_c a condutividade e A a área.
Resistência por convecção no topo:
R_{\text{conv}}=\frac{1}{h A}.
Explicação: a lei de convecção de Newton dá \dot{Q}=hA(T_s-T_\infty), que pode ser escrita como \dot{Q}=(T_s-T_\infty)/R_{\text{conv}}.
Agora calculamos numericamente as resistências (vou mostrar as contas passo a passo):
Explicação conceptual: como estamos considerando a temperatura na face da cerâmica junto ao aquecedor conhecida (125^\circ\mathrm{C}), o calor que sai por convecção passa primeiro pela condução na cerâmica e depois pela convecção — por isso as resistências somam.
Passo 3
Calcular a taxa de calor total gerada \dot{Q} (energia por unidade de tempo):
No regime permanente, a potência gerada na placa aquecedora é igual à potência removida pela convecção no topo. Assim:
Explicação didática: a diferença de temperatura total (125 − 30) atravessa a resistência térmica total R_{\text{tot}}; a lei de Ohm térmica é análoga à elétrica, com temperatura no lugar de potencial e calor no lugar de corrente.
Passo 4
Calcular a temperatura da face superior da cerâmica (contato com o ar), T_s:
mesmo resultado (pequena diferença numérica por arredondamento). Isso confirma consistência.
Comentário motivador: percebe-se que a resistência convectiva domina (0{,}1 frente a 0{,}0006), por isso a superfície fica muito próxima de 125^\circ\mathrm{C}.
Passo 5
Determinar a densidade volumétrica de geração e conferir consistência (opcional, mas útil para interpretar a placa aquecedora):
Como o fluxo térmico no topo da placa aquecedora (por unidade de área) é igual ao calor gerado por unidade de volume vezes a espessura da placa aquecedora (porque a face inferior é isolada), temos:
Isto significa que o volume total da placa aquecedora gera:
\dot{Q}=q'''\, (L_h A)=q" A\quad(\text{confere com }944{,}33\\ \mathrm{W}).
Passo 6
Calcular a temperatura da face inferior da placa aquecedora (a face mais baixa, isolada). Para isso preciso relacionar temperaturas no interior da placa aquecedora em presença de geração volumétrica e condição de fluxo nulo na face inferior.
Modelo e derivação (1D, geração uniforme q''', condutividade k_h, bottom em x=0, top em x=L_h):
A densidade de fluxo ao longo da placa é q_x = q''' x (porque a partir da base isolada, o fluxo cresce linearmente com x).
A temperatura é obtida integrando -k_h \dfrac{dT}{dx}=q''' x, com condição \left.\dfrac{dT}{dx}\right|_{x=0}=0.
Solução (mostrando o passo):
onde T(0) é a temperatura na face inferior (máxima, por causa do isolamento) e T(L_h) é a temperatura na face superior do aquecedor (lado do aquecedor que toca a cerâmica). Reescrevendo a diferença entre as faces:
Agora precisamos de T(L_h), que é a temperatura no lado do aquecedor da interface aquecedor–cerâmica. Há uma queda adicional na resistência de contato entre as superfícies: a temperatura no lado do aquecedor da interface é maior que T_{i,A}=125^\circ\mathrm{C} em uma quantidade
Breve interpretação: a queda pelas resistências e pela distribuição de geração é pequena, então as temperaturas ficam em torno de 125^\circ\mathrm{C} — a convecção é o gargalo.
Resposta
T_{\text{superfície da cerâmica}}=124{,}433^\circ\mathrm{C}íâ \dot{Q}=944{,}33\\ \mathrm{W} T_{\text{face inferior da placa aquecedora}}=126{,}574^\circ\mathrm{C}