\mathbf{3}^{\boldsymbol{\circ}} Questão (2,5 Pontos): Uma placa cerâmica (A) precisa passar por um procedimento para tratamento térmico, para isso a temperatura da face cerâmica, em contato com a placa aquecedora, deve ser igual a 125^{\circ} \mathrm{C}. Para manter essa temperatura, a placa cerâmica é aquecida por contato com a placa aquecedora (B), esse dispositivo é atravessado por uma corrente de 3 A, que gera uma taxa de calor uniforme unidade de volume. A face superior da camada cerâmica está em contato com o ar a uma temperatura de 30^{\circ} \mathrm{C}. Já a face inferior da placa aquecedora está perfeitamente isolada. Considerando que o coeficiente de transferência de calor por conveção do ar é igual a 5 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2 \circ} \mathrm{C} e que a resistência de contato entre as duas camadas é

calcule:
  1. a temperatura da camada cerâmica em contato com o ar;
  2. a quantidade de calor gerada na placa aquecedora;
  3. a temperatura da camada inferior da placa aquecedora.
Considere os seguintes dados: A área total do conjunto (D) igual a 2 \mathrm{~m}^{2}; Espessura total do conjunto (L) igual a 10 cm , sendo a espessura da placa cerâmica corresponde a 60% desse total; condutividade térmica da placa cerâmica igual a 50 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C} e da placa aquecedora igual a 15 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado pede 3 coisas e dá vários dados. Vou listar explicitamente o que se pede e os dados usados (incluindo um valor que peguei da imagem indicada no enunciado).
Pedidos:
  1. A temperatura da face superior da camada cerâmica (a face em contato com o ar).
  2. A quantidade de calor gerada na placa aquecedora (energia por tempo, \dot{Q}).
  3. A temperatura da face inferior da placa aquecedora (face oposta àquela em contato com a cerâmica).
Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado; o valor da resistência de contato foi extraído da imagem do enunciado):
  • Área total do conjunto: A = 2\\ \mathrm{m}^2.
  • Espessura total: L = 0{,}10\\ \mathrm{m}.
  • Espessura da placa cerâmica: L_c = 0{,}6L = 0{,}06\\ \mathrm{m}.
  • Espessura da placa aquecedora: L_h = 0{,}4L = 0{,}04\\ \mathrm{m}.
  • Condutividade térmica da cerâmica: k_c = 50\\ \mathrm{W/m\cdot ^\circ C}.
  • Condutividade térmica da placa aquecedora: k_h = 15\\ \mathrm{W/m\cdot ^\circ C}.
  • Temperatura do ar: T_\infty = 30^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente de convecção para o ar: h = 5\\ \mathrm{W/m^2\cdot ^\circ C}.
  • Temperatura da face da cerâmica em contato com a placa aquecedora (condição exigida): T_{i,A}=125^\circ\mathrm{C}. (isto é a temperatura no lado da cerâmica da interface cerâmica–aquecedor).
  • A face inferior da placa aquecedora está perfeitamente isolada (fluxo de calor zero nessa face).
  • A placa aquecedora é atravessada por corrente e gera calor volumétrico uniforme; como o problema é estacionário, todo o calor gerado sobe e é removido por convecção no topo.
  • Resistência térmica de contato entre as duas camadas (valor obtido da imagem do enunciado): R_c = 0{,}002\\ \mathrm{K/W}. (usei este valor porque aparece na figura do enunciado).
Observações importantes para a resolução:
  • Em regime permanente 1D, a taxa de calor total gerada na placa aquecedora \dot{Q} deve ser evacuada pela convecção no topo: \dot{Q}=hA\,(T_{s}-T_\infty), onde T_s é a temperatura da face superior da cerâmica.
  • A mesma taxa de calor atravessa a cerâmica por condução, portanto podemos montar resistências térmicas em série entre T_{i,A}=125^\circ\mathrm{C} e T_\infty.

Passo 2

Definir as resistências térmicas (explicando as fórmulas):
  • Resistência por condução através da cerâmica (formato planar, 1D):
R_{\text{cond},c}=\frac{L_c}{k_c A}.
Explicação: a lei de Fourier para condução em regime estacionário diz que \dot{Q} = \dfrac{T_{\text{entrada}}-T_{\text{saida}}}{R_{\text{cond}}}. Para uma camada plana, R_{\text{cond}}=L/(kA). Aqui L_c é a espessura da cerâmica, k_c a condutividade e A a área.
  • Resistência por convecção no topo:
R_{\text{conv}}=\frac{1}{h A}.
Explicação: a lei de convecção de Newton dá \dot{Q}=hA(T_s-T_\infty), que pode ser escrita como \dot{Q}=(T_s-T_\infty)/R_{\text{conv}}.
Agora calculamos numericamente as resistências (vou mostrar as contas passo a passo):
Cálculo de R_{\text{cond},c}:
R_{\text{cond},c}=\frac{L_c}{k_c A}=\frac{0{,}06}{50\cdot 2}=\frac{0{,}06}{100}=0{,}0006\\ \mathrm{K/W}.
Cálculo de R_{\text{conv}}:
R_{\text{conv}}=\frac{1}{hA}=\frac{1}{5\cdot 2}=\frac{1}{10}=0{,}1\\ \mathrm{K/W}.
Resistência total entre a face interna da cerâmica (onde T_{i,A}=125^\circ\mathrm{C}) e o ar:
R_{\text{tot}}=R_{\text{cond},c}+R_{\text{conv}}=0{,}0006+0{,}1=0{,}1006\\ \mathrm{K/W}.
Explicação conceptual: como estamos considerando a temperatura na face da cerâmica junto ao aquecedor conhecida ( 125^\circ\mathrm{C}), o calor que sai por convecção passa primeiro pela condução na cerâmica e depois pela convecção — por isso as resistências somam.

Passo 3

Calcular a taxa de calor total gerada \dot{Q} (energia por unidade de tempo):
No regime permanente, a potência gerada na placa aquecedora é igual à potência removida pela convecção no topo. Assim:
\dot{Q}=\frac{T_{i,A}-T_\infty}{R_{\text{tot}}}.
Substituindo valores:
\dot{Q}=\frac{125-30}{0{,}1006}=\frac{95}{0{,}1006}\\ \mathrm{W}.
Calculemos:
\dot{Q}\approx 944{,}33\\ \mathrm{W}.
Também é útil a densidade de fluxo de calor (por unidade de área):
q"=\frac{\dot{Q}}{A}=\frac{944{,}33}{2}=472{,}165\\ \mathrm{W/m^2}.
Explicação didática: a diferença de temperatura total (125 − 30) atravessa a resistência térmica total R_{\text{tot}}; a lei de Ohm térmica é análoga à elétrica, com temperatura no lugar de potencial e calor no lugar de corrente.

Passo 4

Calcular a temperatura da face superior da cerâmica (contato com o ar), T_s:
Usamos a relação de convecção:
q"=h\,(T_s-T_\infty).
Assim
T_s=T_\infty+\frac{q"}{h}.
Substituindo:
T_s=30+\frac{472{,}165}{5}=30+94{,}433=124{,}433^\circ\mathrm{C}.
Verificação alternativa (pela condução na cerâmica): T_s = T_{i,A}-q" \cdot \dfrac{L_c}{k_c}. Fazendo isso:
T_s=125-472{,}165\cdot\frac{0{,}06}{50}=125-472{,}165\cdot 0{,}0012 =125-0{,}5666\approx124{,}433^\circ\mathrm{C},
mesmo resultado (pequena diferença numérica por arredondamento). Isso confirma consistência.
Comentário motivador: percebe-se que a resistência convectiva domina (0{,}1 frente a 0{,}0006), por isso a superfície fica muito próxima de 125^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Determinar a densidade volumétrica de geração e conferir consistência (opcional, mas útil para interpretar a placa aquecedora):
Como o fluxo térmico no topo da placa aquecedora (por unidade de área) é igual ao calor gerado por unidade de volume vezes a espessura da placa aquecedora (porque a face inferior é isolada), temos:
q"=q''' \, L_h \quad\Rightarrow\quad q'''=\frac{q"}{L_h}.
Substituindo:
q'''=\frac{472{,}165}{0{,}04}=11\,804{,}125\\ \mathrm{W/m^3}.
Isto significa que o volume total da placa aquecedora gera:
\dot{Q}=q'''\, (L_h A)=q" A\quad(\text{confere com }944{,}33\\ \mathrm{W}).

Passo 6

Calcular a temperatura da face inferior da placa aquecedora (a face mais baixa, isolada). Para isso preciso relacionar temperaturas no interior da placa aquecedora em presença de geração volumétrica e condição de fluxo nulo na face inferior.
Modelo e derivação (1D, geração uniforme q''', condutividade k_h, bottom em x=0, top em x=L_h):
  • A densidade de fluxo ao longo da placa é q_x = q''' x (porque a partir da base isolada, o fluxo cresce linearmente com x).
  • A temperatura é obtida integrando -k_h \dfrac{dT}{dx}=q''' x, com condição \left.\dfrac{dT}{dx}\right|_{x=0}=0.
    Solução (mostrando o passo):
\frac{dT}{dx}=-\frac{q''' x}{k_h}\quad\Rightarrow\quad T(x)=T(0)-\frac{q'''}{2k_h}x^2,
onde T(0) é a temperatura na face inferior (máxima, por causa do isolamento) e T(L_h) é a temperatura na face superior do aquecedor (lado do aquecedor que toca a cerâmica). Reescrevendo a diferença entre as faces:
T(0)-T(L_h)=\frac{q'''}{2k_h}L_h^2.
Mas q'''=\dfrac{q"}{L_h}, então
T(0)-T(L_h)=\frac{q"}{L_h}\cdot\frac{L_h^2}{2k_h}=\frac{q''\,L_h}{2k_h}.
Agora precisamos de T(L_h), que é a temperatura no lado do aquecedor da interface aquecedor–cerâmica. Há uma queda adicional na resistência de contato entre as superfícies: a temperatura no lado do aquecedor da interface é maior que T_{i,A}=125^\circ\mathrm{C} em uma quantidade
\Delta T_{\text{cont}}=q"\,R_c.
Logo
T(L_h)=T_{i,A}+\Delta T_{\text{cont}}=T_{i,A}+q"\,R_c.
Substituindo números (usando R_c=0{,}002\\ \mathrm{K/W}, que peguei da imagem):
  • Primeiro, \Delta T_{\text{cont}}=472{,}165\cdot 0{,}002=0{,}94433^\circ\mathrm{C}.
  • Então T(L_h)=125+0{,}94433=125{,}94433^\circ\mathrm{C}.
Agora a diferença entre a face inferior e essa face superior do aquecedor:
T(0)-T(L_h)=\frac{q"\,L_h}{2k_h}=\frac{472{,}165\cdot 0{,}04}{2\cdot 15}.
Calculemos:
\frac{472{,}165\cdot 0{,}04}{30}=\frac{18{,}8866}{30}=0{,}62955^\circ\mathrm{C}.
Portanto a temperatura da face inferior da placa aquecedora (a máxima no aquecedor) é
T(0)=T(L_h)+0{,}62955=125{,}94433+0{,}62955\approx126{,}5739^\circ\mathrm{C}.
Breve interpretação: a queda pelas resistências e pela distribuição de geração é pequena, então as temperaturas ficam em torno de 125^\circ\mathrm{C} — a convecção é o gargalo.

Resposta

T_{\text{superfície da cerâmica}}=124{,}433^\circ\mathrm{C}íâ
\dot{Q}=944{,}33\\ \mathrm{W}
T_{\text{face inferior da placa aquecedora}}=126{,}574^\circ\mathrm{C}

Exercícios relacionados