7.48 ⋯ Você está projetando uma rampa de descarga para engradados contendo equipamentos de ginástica. Os engradados de 1.470 N movem-se a
no topo de uma rampa com inclinação de
para baixo. A rampa exerce sobre cada engradado uma força de atrito cinético igual a 515 N , e a força máxima de atrito estático também possui esse valor. Cada engradado comprimirá uma mola na extremidade inferior da rampa e atingirá o repouso depois de percorrer uma distância de
ao longo da rampa. Depois de parar, o engradado não deve voltar a deslizar para trás. Calcule qual deve ser a constante da mola que preenche os requisitos desse projeto.
Passo 1
O enunciado pede que a gente determine a constante da mola
de modo que: (1) um engradado de peso
que parte no topo com velocidade
pare após percorrer
ao longo da rampa inclinada de
para baixo, e (2) depois de parado ele não volte a deslizar para trás (isto é, a fricção estática máxima deve ser capaz de impedir qualquer retorno).\n\nDados fornecidos (vou listar todos explicitamente):\n\n
\n
\n\n
\n
\n\n
\n
\n\n
\n
\n\n
\n
(o enunciado diz que tem o mesmo valor)\n\n
\n
\n\n
\nObjetivo final: encontrar
(ou a condição sobre
) que satisfaça os requisitos acima.
Passo 2
Primeiro vamos converter o peso em massa, porque usaremos energia cinética e termos com
. A relação entre peso
e massa
é
onde
é a aceleração da gravidade. Assim
Usando
,
Comentário didático: eu usei
que é o valor padrão nas contas;
já era dado em newtons, então dividir por
nos dá a massa em kg.
Passo 3
Vamos usar o teorema trabalho-energia (muito útil em problemas com atrito e molas): a variação da energia cinética entre dois instantes é igual ao trabalho resultante das forças externas não conservativas e conservativas. Aqui é mais simples escrever a conservação de energia incluindo o trabalho da força de atrito e a energia da mola ao final. Tomando o estado inicial (topo, com velocidade
) e o estado final (parado, com a mola comprimida até a máxima compressão), temos:
Energia inicial (no início): energia cinética
Trabalhos/energias obtidos durante o deslocamento total
ao longo da rampa:
- trabalho da gravidade (componente ao longo da rampa): a componente da força peso paralela à rampa é
no sentido descendente, portanto ela realiza trabalho positivo ; - trabalho da força de atrito cinético: sempre oposta ao movimento, valendo
; - energia armazenada na mola (quando a caixa atinge o máximo de compressão):
(essa é energia potencial elástica, retirada da energia mecânica do sistema). Observação: aqui é a compressão máxima da mola; ela faz parte do deslocamento total , mas não precisamos conhecer a posição onde a mola começa a atuar para aplicar a conservação de energia entre os dois estados.
A equação de energia (energia inicial + trabalho das forças externas = energia final) fica, com energia final cinética zero:
Isolando a energia da mola,
Definimos para facilitar
então
Comentário didático: essa equação liga a constante
e a compressão
. A energia disponível
é a soma da energia cinética inicial mais o trabalho ganho pela gravidade, menos o trabalho perdido por atrito — é a energia que sobra para ser armazenada na mola.
Passo 4
Agora a condição para que, depois de parar, o engradado não volte a deslizar para trás: no ponto de máxima compressão a mola exerce uma força para cima da rampa de magnitude
. Para que o engradado não se mova para cima, essa força (que tende a puxá‑lo para cima) não pode exceder a força máxima de atrito estático disponível que atua para impedir o deslizamento para cima. Logo precisamos de
Comentário didático: estamos usando que na tentativa de o bloco subir, a fricção que atua para impedir esse movimento é a estática máxima
. Se a força da mola for maior, o bloco iniciaria movimento para cima.
Passo 5
Vamos eliminar
usando a equação da energia do Passo 3. Da equação
temos
Substituindo na condição de fricção
Simplificando o lado esquerdo:
Portanto a condição vira
Elevando ao quadrado:
Isolando
:
Isto dá um limite superior para
; ou seja, para que a mola não empurre o engradado para cima além do que a fricção estática suporta, a constante da mola deve ser menor ou igual a esse valor. Comentário sobre o método: escolhemos esse caminho porque relaciona energia (que nos dá
em função de
) com a condição estática (que envolve
). É a forma direta e elegante de eliminar a incógnita
.
Passo 6
Vamos calcular numericamente
e então
. Usamos os valores já listados.
Calculemos cada termo que compõe
:
- Energia cinética inicial:
- Trabalho da gravidade ao descer
:
primeiro observe que. Então
Usando
,
- Trabalho da força de atrito cinético:
Agora
é
Para facilitar os cálculos subsequentes podemos usar
.
Agora calcule
pela fórmula do Passo 5:
Calculando numericamente:
Arredondando com razoável número de algarismos significativos (os dados têm tipicamente 3 dígitos), obtemos
Interpretação final e observação prática: qualquer mola com constante
menor ou igual a esse valor atenderá à condição de que, ao parar depois de percorrer
, o engradado não voltará a deslizar para trás porque a força da mola no máximo de compressão não ultrapassará a força máxima de atrito estático. Se se quisesse uma mola mais rígida (maior
), ela poderia provocar retorno do engradado.