7.48 ⋯ Você está projetando uma rampa de descarga para engradados contendo equipamentos de ginástica. Os engradados de 1.470 N movem-se a 1,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s} no topo de uma rampa com inclinação de 22,0^{\circ} para baixo. A rampa exerce sobre cada engradado uma força de atrito cinético igual a 515 N , e a força máxima de atrito estático também possui esse valor. Cada engradado comprimirá uma mola na extremidade inferior da rampa e atingirá o repouso depois de percorrer uma distância de 5,0 \mathrm{~m} ao longo da rampa. Depois de parar, o engradado não deve voltar a deslizar para trás. Calcule qual deve ser a constante da mola que preenche os requisitos desse projeto.

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine a constante da mola k de modo que: (1) um engradado de peso 1470\\ \mathrm{N} que parte no topo com velocidade 1{,}8\\ \mathrm{m/s} pare após percorrer 5{,}0\\ \mathrm{m} ao longo da rampa inclinada de 22{,}0^\circ para baixo, e (2) depois de parado ele não volte a deslizar para trás (isto é, a fricção estática máxima deve ser capaz de impedir qualquer retorno).\n\nDados fornecidos (vou listar todos explicitamente):\n\n \n \text{peso: }W=1470\\ \mathrm{N}\n\n \n \text{velocidade inicial: }v_0=1{,}8\\ \mathrm{m/s}\n\n \n \text{ângulo da rampa: }\theta=22{,}0^\circâ\n\n \n \text{força de atrito cinético: }f_k=515\\ \mathrm{N}çé\n\n \n \text{força máxima de atrito estático: }f_{s,\max}=515\\ \mathrm{N}çáá (o enunciado diz que tem o mesmo valor)\n\n \n \text{distância total percorrida ao longo da rampa até parar: }d=5{,}0\\ \mathrm{m}âé\n\n \nObjetivo final: encontrar k (ou a condição sobre k) que satisfaça os requisitos acima.

Passo 2

Primeiro vamos converter o peso em massa, porque usaremos energia cinética e termos com m. A relação entre peso W e massa m é
W=mg,
onde g é a aceleração da gravidade. Assim
m=\frac{W}{g}.
Usando g=9{,}80\\ \mathrm{m/s^2},
m=\frac{1470}{9{,}80}=150\\ \mathrm{kg}.
Comentário didático: eu usei g=9{,}80 que é o valor padrão nas contas; W já era dado em newtons, então dividir por g nos dá a massa em kg.

Passo 3

Vamos usar o teorema trabalho-energia (muito útil em problemas com atrito e molas): a variação da energia cinética entre dois instantes é igual ao trabalho resultante das forças externas não conservativas e conservativas. Aqui é mais simples escrever a conservação de energia incluindo o trabalho da força de atrito e a energia da mola ao final. Tomando o estado inicial (topo, com velocidade v_0) e o estado final (parado, com a mola comprimida até a máxima compressão), temos:
Energia inicial (no início): energia cinética
E_{\text{in}}=\tfrac{1}{2} m v_0^2.
Trabalhos/energias obtidos durante o deslocamento total d ao longo da rampa:
  • trabalho da gravidade (componente ao longo da rampa): a componente da força peso paralela à rampa é mg\sin\theta no sentido descendente, portanto ela realiza trabalho positivo mg\sin\theta\; d;
  • trabalho da força de atrito cinético: sempre oposta ao movimento, valendo -f_k d;
  • energia armazenada na mola (quando a caixa atinge o máximo de compressão): +\tfrac{1}{2}k x^2 (essa é energia potencial elástica, retirada da energia mecânica do sistema). Observação: aqui x é a compressão máxima da mola; ela faz parte do deslocamento total d, mas não precisamos conhecer a posição onde a mola começa a atuar para aplicar a conservação de energia entre os dois estados.
A equação de energia (energia inicial + trabalho das forças externas = energia final) fica, com energia final cinética zero:
\tfrac{1}{2} m v_0^2 + mg\sin\theta\; d - f_k d - \tfrac{1}{2}k x^2 = 0.
Isolando a energia da mola,
\tfrac{1}{2}k x^2 = \tfrac{1}{2} m v_0^2 + mg\sin\theta\; d - f_k d.
Definimos para facilitar
A \equiv \tfrac{1}{2} m v_0^2 + mg\sin\theta\; d - f_k d,
então
\tfrac{1}{2}k x^2 = A.
Comentário didático: essa equação liga a constante k e a compressão x. A energia disponível A é a soma da energia cinética inicial mais o trabalho ganho pela gravidade, menos o trabalho perdido por atrito — é a energia que sobra para ser armazenada na mola.

Passo 4

Agora a condição para que, depois de parar, o engradado não volte a deslizar para trás: no ponto de máxima compressão a mola exerce uma força para cima da rampa de magnitude F_{\text{mola}}=k x. Para que o engradado não se mova para cima, essa força (que tende a puxá‑lo para cima) não pode exceder a força máxima de atrito estático disponível que atua para impedir o deslizamento para cima. Logo precisamos de
k x \le f_{s,\max}.
Comentário didático: estamos usando que na tentativa de o bloco subir, a fricção que atua para impedir esse movimento é a estática máxima f_{s,\max}. Se a força da mola for maior, o bloco iniciaria movimento para cima.

Passo 5

Vamos eliminar x usando a equação da energia do Passo 3. Da equação
\tfrac{1}{2}k x^2 = A
temos
x=\sqrt{\frac{2A}{k}}.
Substituindo na condição de fricção
k\sqrt{\frac{2A}{k}} \le f_{s,\max}.
Simplificando o lado esquerdo:
k\sqrt{\frac{2A}{k}} = \sqrt{2A k}.
Portanto a condição vira
\sqrt{2A k} \le f_{s,\max}.
Elevando ao quadrado:
2A k \le f_{s,\max}^2.
Isolando k:
k \le \frac{f_{s,\max}^2}{2A}.
Isto dá um limite superior para k; ou seja, para que a mola não empurre o engradado para cima além do que a fricção estática suporta, a constante da mola deve ser menor ou igual a esse valor. Comentário sobre o método: escolhemos esse caminho porque relaciona energia (que nos dá x em função de k) com a condição estática (que envolve k x). É a forma direta e elegante de eliminar a incógnita x.

Passo 6

Vamos calcular numericamente A e então k. Usamos os valores já listados.
Calculemos cada termo que compõe A:
  1. Energia cinética inicial:
\tfrac{1}{2} m v_0^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 150\cdot(1{,}8)^2 =75\cdot 3{,}24 = 243\\ \mathrm{J}.
  1. Trabalho da gravidade ao descer d=5{,}0\\ \mathrm{m}:
    primeiro observe que mg=W=1470\\ \mathrm{N}. Então
mg\sin\theta\; d = 1470\cdot \sin(22{,}0^\circ)\cdot 5{,}0.
Usando \sin(22{,}0^\circ)\approx 0{,}3746,
mg\sin\theta\; d \approx 1470\cdot 0{,}3746\cdot 5{,}0 =1470\cdot 1{,}873 \approx 2753{,}9\\ \mathrm{J}.
  1. Trabalho da força de atrito cinético:
f_k d = 515\cdot 5{,}0 = 2575\\ \mathrm{J}.
Agora A é
A = 243 + 2753{,}9 - 2575 = 421{,}9\\ \mathrm{J}\\ (\text{aprox.}).
Para facilitar os cálculos subsequentes podemos usar A\approx 422\\ \mathrm{J}.
Agora calcule k_{\max} pela fórmula do Passo 5:
k_{\max} = \frac{f_{s,\max}^2}{2A} = \frac{(515)^2}{2\cdot 421{,}9}.
Calculando numericamente:
(515)^2 = 265225,
2A \approx 843{,}8,
k_{\max} \approx \frac{265225}{843{,}8}\approx 314{,}4\\ \mathrm{N/m}.
Arredondando com razoável número de algarismos significativos (os dados têm tipicamente 3 dígitos), obtemos
k_{\max}\approx 3{,}14\times 10^{2}\\ \mathrm{N/m}.
Interpretação final e observação prática: qualquer mola com constante k menor ou igual a esse valor atenderá à condição de que, ao parar depois de percorrer 5{,}0\\ \mathrm{m}, o engradado não voltará a deslizar para trás porque a força da mola no máximo de compressão não ultrapassará a força máxima de atrito estático. Se se quisesse uma mola mais rígida (maior k), ela poderia provocar retorno do engradado.

Resposta

k_{\max}=3{,}14\times10^{2}\\ \mathrm{N/m}

Exercícios relacionados