5-40 Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
-
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a integral imprópria
é convergente ou divergente, e calcular o valor se for convergente.
Informações dadas:
- Intervalo de integração:
. - A função integranda é
. - Há singularidade em
(o integrando não está definido em ). O ponto é regular.
Passo 2
Definição (lembrete prático): uma integral sobre um intervalo com singularidade em um dos extremos é definida como limite. Aqui devemos interpretar
Se esse limite existir finito, a integral é convergente; se o limite não existir ou for infinito, é divergente.
Passo 3
Fazer uma substituição que simplifique a expressão exponencial. Tome
Então
e
Quando
temos
. Quando
, como
é negativo e tende a
,
. Substituindo na integral o integrando vira:
Passo 4
Troca completa dos limites e do sinal: com
a integral limitada por
corresponde a
. Tomando o limite
dá
. Assim
Invertendo os limites para eliminar o sinal negativo,
Portanto o problema reduziu-se a estudar a convergência e o valor de
.
Passo 5
Calcular a primitiva de
. Usando integração por partes:
escolha e
. Então
e
. Logo
escolha
Passo 6
Avaliar a integral imprópria com a primitiva:
Calcula-se o primeiro termo:
Falta mostrar que
. Uma maneira simples: escreva
com
. Então
Como
cresce muito mais rápido que qualquer polinômio, tem-se
. Portanto
.
Passo 7
Combinando os termos obtemos
Logo a integral original converge e seu valor é
.