5-40 Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
  1. \int_{-1}^{0} \frac{e^{1 / x}}{x^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a integral imprópria
\int_{-1}^{0} \frac{e^{1/x}}{x^{3}}\,dx
é convergente ou divergente, e calcular o valor se for convergente.
Informações dadas:
  • Intervalo de integração: [-1,0].
  • A função integranda é \dfrac{e^{1/x}}{x^{3}}.
  • Há singularidade em x=0 (o integrando não está definido em x=0). O ponto x=-1 é regular.

Passo 2

Definição (lembrete prático): uma integral sobre um intervalo com singularidade em um dos extremos é definida como limite. Aqui devemos interpretar
\int_{-1}^{0} \frac{e^{1/x}}{x^{3}}\,dx = \lim_{t\to 0^-} \int_{-1}^{t} \frac{e^{1/x}}{x^{3}}\,dx.
Se esse limite existir finito, a integral é convergente; se o limite não existir ou for infinito, é divergente.

Passo 3

Fazer uma substituição que simplifique a expressão exponencial. Tome
u=\frac{1}{x}.
Então x=\dfrac{1}{u} e
dx = -\frac{1}{u^{2}}\,du.
Quando x=-1 temos u=-1. Quando x\to 0^{-}, como x é negativo e tende a 0, u=1/x\to -\infty. Substituindo na integral o integrando vira:
\frac{e^{1/x}}{x^{3}}\,dx = e^{u}\cdot\left(\frac{1}{x^{3}}\right)\,dx = e^{u}\cdot \left(u^{3}\right)\cdot\left(-\frac{1}{u^{2}}\,du\right) = -u e^{u}\,du.

Passo 4

Troca completa dos limites e do sinal: com u a integral limitada por x\in[-1,t] corresponde a u\in[-1,1/t]. Tomando o limite t\to 0^- 1/t\to -\infty. Assim
\int_{-1}^{0} \frac{e^{1/x}}{x^{3}}\,dx = \lim_{t\to 0^-} \int_{-1}^{t} \frac{e^{1/x}}{x^{3}}\,dx = \lim_{A\to -\infty} \int_{-1}^{A} \bigl(-u e^{u}\bigr)\,du.
Invertendo os limites para eliminar o sinal negativo,
\lim_{A\to -\infty} \int_{-1}^{A} \bigl(-u e^{u}\bigr)\,du = \lim_{A\to -\infty} \int_{A}^{-1} u e^{u}\,du = \int_{-\infty}^{-1} u e^{u}\,du.
Portanto o problema reduziu-se a estudar a convergência e o valor de \displaystyle \int_{-\infty}^{-1} u e^{u}\,du.

Passo 5

Calcular a primitiva de u e^{u}. Usando integração por partes:
escolha f(u)=u e g'(u)=e^{u}. Então f'(u)=1 e g(u)=e^{u}. Logo
\int u e^{u}\,du = u e^{u} - \int 1\cdot e^{u}\,du = u e^{u} - e^{u} + C = (u-1)e^{u} + C.

Passo 6

Avaliar a integral imprópria com a primitiva:
\int_{-\infty}^{-1} u e^{u}\,du = \lim_{a\to -\infty} \bigl[(u-1)e^{u}\bigr]_{u=a}^{u=-1} = ( -1-1)e^{-1} - \lim_{a\to -\infty} (a-1)e^{a}.
Calcula-se o primeiro termo:
(-1-1)e^{-1} = -2e^{-1} = -\frac{2}{e}.
Falta mostrar que \displaystyle \lim_{a\to -\infty} (a-1)e^{a}=0. Uma maneira simples: escreva a=-v com v\to +\infty. Então
(a-1)e^{a}=(-v-1)e^{-v} = -(v+1)e^{-v}.
Como e^{v} cresce muito mais rápido que qualquer polinômio, tem-se \lim_{v\to\infty} (v+1)e^{-v}=0. Portanto \lim_{a\to -\infty} (a-1)e^{a}=0.

Passo 7

Combinando os termos obtemos
\int_{-\infty}^{-1} u e^{u}\,du = -\frac{2}{e} - 0 = -\frac{2}{e}.
Logo a integral original converge e seu valor é -\dfrac{2}{e}.

Resposta

-\dfrac{2}{e}

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