5-40 Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
  1. \int_{0}^{1} \frac{e^{1 / x}}{x^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a integral é convergente ou divergente e, se convergente, calculá‑la. A integral dada é
\int_{0}^{1} \frac{e^{1/x}}{x^{3}}\,dx.
Informações relevantes:
  • O integrando é \dfrac{e^{1/x}}{x^{3}}.
  • O intervalo de integração é [0,1].
  • Há uma descontinuidade no ponto x=0 (pois 1/x diverge quando x\to0^+), logo a integral é imprópria e deve ser entendida como um limite quando a aproximação a 0 for feita pela direita.

Passo 2

Definição (lembrando a teoria): uma integral imprópria com singularidade em 0 é definida como o limite
\int_{0}^{1} \frac{e^{1/x}}{x^{3}}\,dx = \lim_{a\to 0^+} \int_{a}^{1} \frac{e^{1/x}}{x^{3}}\,dx,
se esse limite existir e for finito. Vou transformar a integral para uma forma mais manejável e então analisar esse limite.

Passo 3

Mudar de variável para simplificar o comportamento quando x\to0^+. Faço a substituição
t=\frac{1}{x}.
Então x=\dfrac{1}{t} e
dx = -\frac{1}{t^{2}}\,dt.
Os limites mudam: quando x=1 temos t=1; quando x\to0^+ temos t\to +\infty. Substituindo na integral (mostrando passo a passo):
\frac{e^{1/x}}{x^{3}}\,dx = \frac{e^{t}}{(1/t)^{3}}\left(-\frac{1}{t^{2}}\,dt\right).
Calculo a expressão algébrica:
\frac{e^{t}}{(1/t)^{3}}\left(-\frac{1}{t^{2}}\right) = e^{t}\,t^{3}\left(-\frac{1}{t^{2}}\right) = -t\,e^{t}\,dt.

Passo 4

Usando os novos limites e a expressão obtida, a integral imprópria fica
\int_{0}^{1} \frac{e^{1/x}}{x^{3}}\,dx = \int_{\infty}^{1} -t e^{t}\,dt = \int_{1}^{\infty} t e^{t}\,dt.
Portanto o problema reduziu-se a estudar a convergência de
\int_{1}^{\infty} t e^{t}\,dt.

Passo 5

Para decidir convergência calculo a primitiva de t e^{t}. Lembrete da técnica (regra que estou usando): integração por partes diz que, para funções u(t) e v'(t),
\int u\,v' = u v - \int u' v.
Escolho u=t e v'=e^{t}. Então u'=1 e v=e^{t}. Aplicando:
\int t e^{t}\,dt = t e^{t} - \int 1\cdot e^{t}\,dt = t e^{t} - e^{t} + C = (t-1)e^{t} + C.
Agora avalio a integral imprópria como limite:
\int_{1}^{\infty} t e^{t}\,dt = \lim_{T\to\infty} \big[(t-1)e^{t}\big]_{t=1}^{t=T} = \lim_{T\to\infty} \big((T-1)e^{T} - (1-1)e^{1}\big).
Como (1-1)e^{1}=0, resta
\lim_{T\to\infty} (T-1)e^{T}.
Esse limite é +\infty, porque e^{T} cresce exponencialmente e o fator polinomial (T-1) apenas multiplica esse crescimento. Logo a integral diverge para +\infty.

Passo 6

Conclusão e interpretação: a integral impropria \int_{0}^{1} \dfrac{e^{1/x}}{x^{3}}\,dx é equivalente à integral \int_{1}^{\infty} t e^{t}\,dt, que tem valor infinito. Assim o limite que define a integral original não é finito, ou seja, a integral é divergente. Intuitivamente isso já era esperado: quando x\to0^+ temos e^{1/x} crescendo muito mais rápido que qualquer potência negativa de x, então o integrando fica grande demais e a área é infinita.

Resposta

Divergente (diverge para +\infty).

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