5-40 Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
-
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a integral é convergente ou divergente e, se convergente, calculá‑la. A integral dada é
Informações relevantes:
- O integrando é
. - O intervalo de integração é
. - Há uma descontinuidade no ponto
(pois diverge quando ), logo a integral é imprópria e deve ser entendida como um limite quando a aproximação a for feita pela direita.
Passo 2
Definição (lembrando a teoria): uma integral imprópria com singularidade em
é definida como o limite
se esse limite existir e for finito. Vou transformar a integral para uma forma mais manejável e então analisar esse limite.
Passo 3
Mudar de variável para simplificar o comportamento quando
. Faço a substituição
Então
e
Os limites mudam: quando
temos
; quando
temos
. Substituindo na integral (mostrando passo a passo):
Calculo a expressão algébrica:
Passo 4
Usando os novos limites e a expressão obtida, a integral imprópria fica
Portanto o problema reduziu-se a estudar a convergência de
Passo 5
Para decidir convergência calculo a primitiva de
. Lembrete da técnica (regra que estou usando): integração por partes diz que, para funções
e
,
Escolho
e
. Então
e
. Aplicando:
Agora avalio a integral imprópria como limite:
Como
, resta
Esse limite é
, porque
cresce exponencialmente e o fator polinomial
apenas multiplica esse crescimento. Logo a integral diverge para
.
Passo 6
Conclusão e interpretação: a integral impropria
é equivalente à integral
, que tem valor infinito. Assim o limite que define a integral original não é finito, ou seja, a integral é divergente. Intuitivamente isso já era esperado: quando
temos
crescendo muito mais rápido que qualquer potência negativa de
, então o integrando fica grande demais e a área é infinita.
Resposta
Divergente (diverge para
).