5-40 Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
  1. \int_{0}^{2} z^{2} \ln z d z

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a integral
\int_{0}^{2} z^{2}\ln z\,dz
é convergente ou divergente, e calcular o seu valor caso seja convergente.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O integrando é z^{2}\ln z.
  • O intervalo de integração é [0,2].
  • Observação importante: \ln z não está definido em z=0 (tem singularidade do tipo -\infty), então há potencial de integral imprópria no limite inferior.

Passo 2

Transformar a integral em uma integral imprópria explícita. Como há singularidade em 0, definimos
\int_{0}^{2} z^{2}\ln z\,dz \equiv \lim_{a\to0^{+}} \int_{a}^{2} z^{2}\ln z\,dz.
A convergência da integral original depende da existência (finita) desse limite.

Passo 3

Calcular a primitiva (antiderivada) de z^{2}\ln z por integração por partes. Lembrete da fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde u e dv são escolhidos para tornar as integrais mais simples.
Escolhas convenientes:
u = \ln z \quad\Rightarrow\quad du = \frac{1}{z}\,dz,
dv = z^{2}\,dz \quad\Rightarrow\quad v = \frac{z^{3}}{3}.
Aplicando a fórmula:
\int z^{2}\ln z\,dz = \left(\frac{z^{3}}{3}\right)\ln z - \int \frac{z^{3}}{3}\cdot\frac{1}{z}\,dz.
Simplificar a integral restante:
\int \frac{z^{3}}{3}\cdot\frac{1}{z}\,dz = \frac{1}{3}\int z^{2}\,dz = \frac{1}{3}\cdot\frac{z^{3}}{3} = \frac{z^{3}}{9}.
Portanto uma primitiva é
F(z)=\frac{z^{3}}{3}\ln z - \frac{z^{3}}{9} + C.

Passo 4

Avaliar a integral definida \int_{a}^{2} z^{2}\ln z\,dz = F(2)-F(a). Substituindo:
F(2)=\frac{2^{3}}{3}\ln 2 - \frac{2^{3}}{9} = \frac{8}{3}\ln 2 - \frac{8}{9},
F(a)=\frac{a^{3}}{3}\ln a - \frac{a^{3}}{9}.
Logo
\int_{a}^{2} z^{2}\ln z\,dz = \left(\frac{8}{3}\ln 2 - \frac{8}{9}\right) - \left(\frac{a^{3}}{3}\ln a - \frac{a^{3}}{9}\right).

Passo 5

Tomar o limite quando a\to0^{+}. Precisamos analisar os termos com a:
  • O termo \dfrac{a^{3}}{9} tende a 0 quando a\to0^{+} porque é um polinômio em a.
  • O termo \dfrac{a^{3}}{3}\ln a também tende a 0. Uma forma clara de ver isso é fazer a substituição a=e^{-t} com t\to+\infty; então
\frac{a^{3}}{3}\ln a = \frac{1}{3}e^{-3t}(-t) = -\frac{t}{3}e^{-3t}\xrightarrow[t\to\infty]{}0,
pois a exponencial decai muito mais rápido que o crescimento linear de t. Assim \dfrac{a^{3}}{3}\ln a \to 0.
Portanto o limite existe e é finito, o que mostra que a integral imprópria converge.

Passo 6

Concluir o valor da integral substituindo os limites (os termos com a anulam-se no limite):
\int_{0}^{2} z^{2}\ln z\,dz = \frac{8}{3}\ln 2 - \frac{8}{9}.
Podemos simplificar fatorando 8:
\int_{0}^{2} z^{2}\ln z\,dz = \frac{8\,(3\ln 2 - 1)}{9}.

Resposta

Convergente
\frac{8\,(3\ln 2 - 1)}{9}

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