41-46 Esboce a região e encontre sua área (se a área for finita).
  1. S=\left\{(x, y) \mid x \geqslant 1,0 \leqslant y \leqslant e^{-x}\right\}

Passo 1

O enunciado dá a região
S=\{(x,y)\mid x\ge 1,\;0\le y\le e^{-x}\}.
O que é pedido:
  • Esboçar (desenhar mentalmente) a região S.
  • Calcular a área dessa região, se a área for finita.
Informações relevantes fornecidas:
  • A borda superior é a curva y=e^{-x}.
  • A borda inferior é o eixo y=0.
  • A região está restrita à direita pela reta vertical x=1 (ou seja, começa em x=1 e vai para x\to\infty).
  • Em x=1 o valor da curva é y=e^{-1}.
  • Quando x\to\infty tem-se e^{-x}\to 0.

Passo 2

Esboço e descrição da região (passo a passo, sem desenho gráfico):
  • A curva y=e^{-x} é a exponencial decrescente; para x=1 vale y=e^{-1}, para x=0 valeria y=1, e à medida que x aumenta a curva se aproxima de zero.
  • A região S fica abaixo dessa curva e acima do eixo y=0, começando verticalmente em x=1 e estendendo-se para a direita até o infinito, mas com altura (em y) que decresce para 0.
  • Em palavras: é a “faixa” entre x=1 e x\to\infty, limitada acima por y=e^{-x} e abaixo por y=0. O esboço teria o eixo x, a reta vertical x=1, a curva decrescente y=e^{-x} e a região sombreada entre essas curvas e o eixo x.

Passo 3

Como calcular a área — ideia geral (explicação didática):
  • Se uma região é dada por \{(x,y)\mid a\le x\le b,\;0\le y\le f(x)\} com f(x)\ge0, a área é dada por
\text{Área}=\int_a^b f(x)\,dx.Á
  • Quando o intervalo em x é infinito, isto é a\le x<\infty, a área é uma integral imprópria:
\text{Área}=\int_a^{\infty} f(x)\,dx =\lim_{B\to\infty}\int_a^{B} f(x)\,dx.Á
  • Intuição: dividir em tiras verticais de largura \Delta x e altura f(x), somar (integral) e, se o domínio é infinito, tomar limite.

Passo 4

Aplicando ao nosso caso: a=1 e f(x)=e^{-x}. Portanto a área pedida é a integral imprópria
\text{Área}=\int_{1}^{\infty} e^{-x}\,dx =\lim_{b\to\infty}\int_{1}^{b} e^{-x}\,dx.Á

Passo 5

Cálculo da integral indefinida (antiderivada) — pequena aula:
  • A derivada de e^{-x} é -e^{-x}. Então uma antiderivada de e^{-x} é -e^{-x} (mais constante). Em notação:
\int e^{-x}\,dx = -e^{-x}+C.
  • Isso vem da regra básica de integração da exponencial: \int e^{kx}\,dx = \frac{1}{k}e^{kx}+C; aqui k=-1.

Passo 6

Avaliar a integral definida e o limite:
  • Para b>1,
\int_{1}^{b} e^{-x}\,dx = \bigl[-e^{-x}\bigr]_{x=1}^{x=b} = -e^{-b} - (-e^{-1}) = e^{-1}-e^{-b}.
  • Tomando o limite b\to\infty,
\lim_{b\to\infty}\bigl(e^{-1}-e^{-b}\bigr)=e^{-1}-0=e^{-1},
porque e^{-b}\to 0 quando b\to\infty.

Passo 7

Conclusão final e comentário:
  • A área da região S é finita e igual a e^{-1}.
  • Em linguagem mais coloquial: embora a região se estenda indefinidamente para a direita, a função e^{-x} decai tão rápido que a área total sob a curva desde x=1 até o infinito é um número finito, exatamente 1/e.
  • Força aí — você já entendeu a técnica: representar a área como integral imprópria e avaliar o limite da antiderivada.

Resposta

e^{-1}

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