41-46 Esboce a região e encontre sua área (se a área for finita).
-
Passo 1
O enunciado dá a região
O que é pedido:
- Esboçar (desenhar mentalmente) a região
. - Calcular a área dessa região, se a área for finita.
Informações relevantes fornecidas:
- A borda superior é a curva
. - A borda inferior é o eixo
. - A região está restrita à direita pela reta vertical
(ou seja, começa em e vai para ). - Em
o valor da curva é . - Quando
tem-se .
Passo 2
Esboço e descrição da região (passo a passo, sem desenho gráfico):
- A curva
é a exponencial decrescente; para vale , para valeria , e à medida que aumenta a curva se aproxima de zero. - A região
fica abaixo dessa curva e acima do eixo , começando verticalmente em e estendendo-se para a direita até o infinito, mas com altura (em ) que decresce para . - Em palavras: é a “faixa” entre
e , limitada acima por e abaixo por . O esboço teria o eixo , a reta vertical , a curva decrescente e a região sombreada entre essas curvas e o eixo .
Passo 3
Como calcular a área — ideia geral (explicação didática):
- Se uma região é dada por
com , a área é dada por
- Quando o intervalo em
é infinito, isto é , a área é uma integral imprópria:
- Intuição: dividir em tiras verticais de largura
e altura , somar (integral) e, se o domínio é infinito, tomar limite.
Passo 4
Aplicando ao nosso caso:
e
. Portanto a área pedida é a integral imprópria
Passo 5
Cálculo da integral indefinida (antiderivada) — pequena aula:
- A derivada de
é . Então uma antiderivada de é (mais constante). Em notação:
- Isso vem da regra básica de integração da exponencial:
; aqui .
Passo 6
Avaliar a integral definida e o limite:
- Para
,
- Tomando o limite
,
porque
quando
.
Passo 7
Conclusão final e comentário:
- A área da região
é finita e igual a . - Em linguagem mais coloquial: embora a região se estenda indefinidamente para a direita, a função
decai tão rápido que a área total sob a curva desde até o infinito é um número finito, exatamente . - Força aí — você já entendeu a técnica: representar a área como integral imprópria e avaliar o limite da antiderivada.