- 40 Duas ondas senoidais com comprimentos de onda e amplitudes iguais se propagam em sentidos opostos em uma corda com uma velocidade de
. Se o intervalo de tempo entre os instantes nos
quais a corda fica reta é
, qual é o comprimento de onda das ondas?
-41 Uma corda fixa nas duas extremidades tem
de comprimento, uma massa de
e uma tração de 96,0 N. (a) Qual é a velocidade das ondas na corda? (b) Qual é o maior comprimento de onda possível para uma onda estacionária na corda? © Determine a frequência dessa onda.
quais a corda fica reta é
-41 Uma corda fixa nas duas extremidades tem
Passo 1
Então, são dois probleminhas de ondas em corda:
• Exercício 40: duas ondas senoidais igualzinhas (mesma amplitude e mesmo λ) vão em sentidos opostos a 10 cm/s. Sabemos que a corda fica reta em intervalos de 0,50 s. Pediu-se λ.
• Exercício 41: corda de 8,40 m, massa 0,120 kg e tração 96,0 N, presa nas duas pontas. (a) Queremos a velocidade das ondas na corda. (b) O maior λ possível de uma onda estacionária. © A frequência dessa onda.
Conteúdo que vamos usar:
• Exercício 40: duas ondas senoidais igualzinhas (mesma amplitude e mesmo λ) vão em sentidos opostos a 10 cm/s. Sabemos que a corda fica reta em intervalos de 0,50 s. Pediu-se λ.
• Exercício 41: corda de 8,40 m, massa 0,120 kg e tração 96,0 N, presa nas duas pontas. (a) Queremos a velocidade das ondas na corda. (b) O maior λ possível de uma onda estacionária. © A frequência dessa onda.
Conteúdo que vamos usar:
- Ondas estacionárias: momento em que a corda fica reta (deslocamento zero em todo x) e relação com o período T.
- Relação geral de ondas: v = λ·f.
- Densidade linear de massa μ = m/L e velocidade em corda esticada v = √(T/μ).
- Para ondas estacionárias em corda fixa, λₙ = 2L/n (n = 1,2,3,…), então o maior λ é o da harmônica fundamental (n=1).
Passo 2
Resolvendo o exercício 40:
- Quando duas ondas iguais se contrapõem, formam onda estacionária cuja expressão de deslocamento total tem um fator sin(ωt). A corda fica reta (y=0 em todo lugar) sempre que sin(ωt)=0.
- Os zeros de sin(ωt) acontecem em ωt = nπ ⇒ intervalos de tempo iguais a Δt = π/ω entre dois instantes consecutivos de “corda reta”.
- Mas π/ω = T/2 (já que ω = 2π/T). Então Δt = T/2.
- Foi dado Δt = 0,50 s ⇒ T/2 = 0,50 ⇒ T = 1,0 s.
- A frequência é f = 1/T = 1,0 Hz. Como v = λ·f ⇒ λ = v/f = (10 cm/s)/(1,0 Hz) = 10 cm = 0,10 m.
Passo 3
Exercício 41(a): velocidade das ondas na corda
- Primeiro, calcula a densidade linear de massa:
μ = m/L = 0,120 kg / 8,40 m ≃ 0,01429 kg/m. - A fórmula da velocidade em corda esticada é
3) Substituindo T = 96,0 N e μ:
Passo 4
Exercício 41(b): maior comprimento de onda de uma onda estacionária
- Em corda fixa nas duas pontas, os comprimentos de onda possíveis são
2) O maior λ ocorre em n=1 (fundamental):
Passo 5
Exercício 41©: frequência dessa onda (harmônica fundamental)
- Usa v = λ·f ⇒ f = v/λ.
- Com v ≃ 82,0 m/s e λ₁ = 16,8 m:
Resposta
Ex. 40: λ = 0,10 m
Ex. 41(a): v ≃ 82,0 m/s
Ex. 41(b): λ₁ = 16,8 m
Ex. 41©: f₁ ≃ 4,88 Hz
Ex. 41(a): v ≃ 82,0 m/s
Ex. 41(b): λ₁ = 16,8 m
Ex. 41©: f₁ ≃ 4,88 Hz