• 46 A corda A está esticada entre duas presilhas separadas por uma distância L. A corda B, com a mesma massa específica linear e a mesma tração que a corda A, está esticada entre duas presilhas separadas por uma distância igual a 4 L. Considere os primeiros oito harmônicos da corda B. Para quais dos oito harmônicos de B a frequência coincide com a frequência (a) do primeiro harmônico de A, (b) do segundo harmônico de A e © do terceiro harmônico de A ?
    -47 Uma das frequências harmônicas de uma certa corda sob tração é 325 Hz . A frequência harmônica seguinte é 390 Hz . Qual é a frequência harmônica que se segue à frequência harmônica de 195 Hz ?

Passo 1

Beleza, o enunciado 46 diz que a corda A tem comprimento L e a corda B tem comprimento 4 L. As duas têm mesma massa por comprimento e mesma tensão, então a velocidade de propagação das ondas v é igual nas duas. Precisamos comparar os harmônicos de B (do 1º ao 8º) com os 1º, 2º e 3º harmônicos de A.
O que vamos usar:
  • Fórmula da frequência do n-ésimo harmônico numa corda fixa nas duas pontas: fn = n,v2,Leff
  • Aqui é o comprimento da corda (L para A, 4 L para B).

Passo 2

Escrevendo as frequências:
  • Para A: fm,A = m,v2,L,, m=1,2,3
  • Para B: fk,B = k,v2,(4L) = k,v8,L,, k=1,2,dots,8
Queremos achar, para cada m=1,2,3, quais k satisfazem
k,v8L ;=;m,v2L

Passo 3

Cancelar k8 = m2 Longrightarrow k = 8;m2 = 4,m dos dois lados e resolver em k:
Agora basta ver, para m=1,2,3, qual é k e se está entre 1 e 8:
  • m=1 → k=4 (ok, ≤8)
  • m=2 → k=8 (ok, ≤8)
  • m=3 → k=12 ( >8, então não aparece nos primeiros oito)

Passo 4

Agora o enunciado 47 fala de uma corda onde um harmônico vale 325 Hz e o próximo vale 390 Hz. Queremos saber qual é o harmônico que vem depois de 195 Hz.
O que vamos usar:
  • Para uma corda fixa, os harmônicos são múltiplos inteiros da frequência fundamental fn = n,f1:
  • A diferença entre dois harmônicos consecutivos é sempre .

Passo 5

Se um harmônico é 325 Hz e o seguinte é 390 Hz, então
f1 = 390 - 325 = 65;Hz

Passo 6

Agora, 195 Hz corresponde a
n = 195f1 = 19565 = 3,
ou seja, é o 3º harmônico. O próximo (4º harmônico) é
f4 = 4,f1 = 4 times 65 = 260;Hz

Resposta

260 Hz.

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