- 46 A corda
está esticada entre duas presilhas separadas por uma distância
. A corda
, com a mesma massa específica linear e a mesma tração que a corda
, está esticada entre duas presilhas separadas por uma distância igual a
. Considere os primeiros oito harmônicos da corda B. Para quais dos oito harmônicos de
a frequência coincide com a frequência (a) do primeiro harmônico de
, (b) do segundo harmônico de
e © do terceiro harmônico de
?
-47 Uma das frequências harmônicas de uma certa corda sob tração é 325 Hz . A frequência harmônica seguinte é 390 Hz . Qual é a frequência harmônica que se segue à frequência harmônica de 195 Hz ?
-47 Uma das frequências harmônicas de uma certa corda sob tração é 325 Hz . A frequência harmônica seguinte é 390 Hz . Qual é a frequência harmônica que se segue à frequência harmônica de 195 Hz ?
Passo 1
Beleza, o enunciado 46 diz que a corda A tem comprimento L e a corda B tem comprimento 4 L. As duas têm mesma massa por comprimento e mesma tensão, então a velocidade de propagação das ondas v é igual nas duas. Precisamos comparar os harmônicos de B (do 1º ao 8º) com os 1º, 2º e 3º harmônicos de A.
O que vamos usar:
- Fórmula da frequência do n-ésimo harmônico numa corda fixa nas duas pontas:
- Aqui
é o comprimento da corda (L para A, 4 L para B).
Passo 2
Escrevendo as frequências:
- Para A:
- Para B:
Queremos achar, para cada m=1,2,3, quais k satisfazem
Passo 3
Cancelar
dos dois lados e resolver em k:
Agora basta ver, para m=1,2,3, qual é k e se está entre 1 e 8:
- m=1 → k=4 (ok, ≤8)
- m=2 → k=8 (ok, ≤8)
- m=3 → k=12 ( >8, então não aparece nos primeiros oito)
Passo 4
Agora o enunciado 47 fala de uma corda onde um harmônico vale 325 Hz e o próximo vale 390 Hz. Queremos saber qual é o harmônico que vem depois de 195 Hz.
O que vamos usar:
- Para uma corda fixa, os harmônicos são múltiplos inteiros da frequência fundamental
: - A diferença entre dois harmônicos consecutivos é sempre
.
Passo 5
Se um harmônico é 325 Hz e o seguinte é 390 Hz, então
Passo 6
Agora, 195 Hz corresponde a
ou seja, é o 3º harmônico. O próximo (4º harmônico) é
Resposta
260 Hz.