Em uma população suponha que:
80% dos adultos do sexo masculino sejam alfabetizados;
60 \% dos adultos do sexo feminino sejam alfabetizados.
A proporção de adultos do sexo masculino e feminino é igual.
Sorteando-se ao acaso e com reposição uma amostra de 3 pessoas desta população,
a probabilidade de se encontrar pelo menos uma alfabetizada na amostra é:
a) 0,875
b) 0,895
c) 0,927
d) 0,973
e) 0,985

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • A proporção de adultos alfabetizados do sexo masculino é 80\%.
  • A proporção de adultos alfabetizados do sexo feminino é 60\%.
  • A proporção de adultos do sexo masculino e feminino é igual (ou seja, cada sexo representa 50\% da população).
  • Será sorteada uma amostra de 3 pessoas ao acaso e com reposição.
O que o exercício pede:
  • Calcular a probabilidade de que na amostra de 3 pessoas haja pelo menos uma pessoa alfabetizada.

Passo 2

Primeiro vamos encontrar a probabilidade de uma pessoa aleatória ser alfabetizada. Usamos a regra da probabilidade total (ou simplesmente a média ponderada), que diz:
P(\text{alfabetizado}) = P(\text{masc})\;P(\text{alf}| \text{masc}) + P(\text{fem})\;P(\text{alf}| \text{fem}).
Aqui P(\text{masc}) é a probabilidade de escolher um homem, P(\text{alf}|\text{masc}) é a probabilidade de ser alfabetizado dado que é homem, e análogamente para mulher. Substituindo os valores dados (lembre que a proporção de sexos é igual, então P(\text{masc})=P(\text{fem})=0,5):
P(\text{alfabetizado}) = 0,5\cdot0,8 + 0,5\cdot0,6.
Calculemos passo a passo:
0,5\cdot0,8 = 0,4,\qquad 0,5\cdot0,6 = 0,3,
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P(\text{alfabetizado}) = 0,4+0,3 = 0,7.
Interpretação: uma pessoa escolhida ao acaso tem 70\% de chance de ser alfabetizada.

Passo 3

Como a amostra é com reposição, as escolhas são independentes: a probabilidade de cada sorteio não muda com os anteriores. Para encontrar a probabilidade de “pelo menos uma alfabetizada” em 3 sorteios, é muito mais simples usar o complemento:
P(\text{pelo menos uma alfabetizada}) = 1 - P(\text{nenhuma alfabetizada}).
A probabilidade de uma pessoa não ser alfabetizada é 1-P(\text{alfabetizado}) = 1-0,7 = 0,3. Como os sorteios são independentes, a probabilidade de nenhuma das três ser alfabetizada é (0,3)^3.

Passo 4

Calculemos (0,3)^3 passo a passo:
0,3\cdot0,3 = 0,09,
0,09\cdot0,3 = 0,027.
Portanto
P(\text{nenhuma alfabetizada}) = 0,027.

Passo 5

Agora aplicamos o complemento:
P(\text{pelo menos uma alfabetizada}) = 1 - 0,027 = 0,973.
Comparando com as alternativas, isso corresponde à alternativa d.

Resposta

d) 0,973

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