Em uma população suponha que:
80% dos adultos do sexo masculino sejam alfabetizados;
dos adultos do sexo feminino sejam alfabetizados.
A proporção de adultos do sexo masculino e feminino é igual.
Sorteando-se ao acaso e com reposição uma amostra de 3 pessoas desta população,
a probabilidade de se encontrar pelo menos uma alfabetizada na amostra é:
a) 0,875
b) 0,895
c) 0,927
d) 0,973
e) 0,985
80% dos adultos do sexo masculino sejam alfabetizados;
A proporção de adultos do sexo masculino e feminino é igual.
Sorteando-se ao acaso e com reposição uma amostra de 3 pessoas desta população,
a probabilidade de se encontrar pelo menos uma alfabetizada na amostra é:
a) 0,875
b) 0,895
c) 0,927
d) 0,973
e) 0,985
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
- A proporção de adultos alfabetizados do sexo masculino é
. - A proporção de adultos alfabetizados do sexo feminino é
. - A proporção de adultos do sexo masculino e feminino é igual (ou seja, cada sexo representa
da população). - Será sorteada uma amostra de
pessoas ao acaso e com reposição.
O que o exercício pede:
- Calcular a probabilidade de que na amostra de
pessoas haja pelo menos uma pessoa alfabetizada.
Passo 2
Primeiro vamos encontrar a probabilidade de uma pessoa aleatória ser alfabetizada. Usamos a regra da probabilidade total (ou simplesmente a média ponderada), que diz:
Aqui
é a probabilidade de escolher um homem,
é a probabilidade de ser alfabetizado dado que é homem, e análogamente para mulher. Substituindo os valores dados (lembre que a proporção de sexos é igual, então
):
Calculemos passo a passo:
logo
Interpretação: uma pessoa escolhida ao acaso tem
de chance de ser alfabetizada.
Passo 3
Como a amostra é com reposição, as escolhas são independentes: a probabilidade de cada sorteio não muda com os anteriores. Para encontrar a probabilidade de “pelo menos uma alfabetizada” em
sorteios, é muito mais simples usar o complemento:
A probabilidade de uma pessoa não ser alfabetizada é
. Como os sorteios são independentes, a probabilidade de nenhuma das três ser alfabetizada é
.
Passo 4
Calculemos
passo a passo:
Portanto
Passo 5
Agora aplicamos o complemento:
Comparando com as alternativas, isso corresponde à alternativa
.
Resposta
d)