Considerando que a variável aleatória segue uma distribuição binomial com parâmetros 10 e 0,1 , julgue os itens subsequentes.
O desvio padrão da distribuição de probabilidade é igual ou superior a 0,9 .

Passo 1

O que o enunciado dá:
  • A variável aleatória segue uma distribuição binomial com parâmetros \,n=10 e \,p=0,1.
    O que o enunciado pede:
  • Julgar se o desvio padrão da distribuição é igual ou superior a \,0,9 (ou seja, verificar se \sigma \ge 0,9).

Passo 2

Relembrando a fórmula que vamos usar (com explicação do que cada símbolo significa):
  • Para uma variável aleatória com distribuição binomial, a variância é dada por
\mathrm{Var}(X)=n\,p\,(1-p).
Aqui:
  • n é o número de ensaios independentes (no enunciado n=10);
  • p é a probabilidade de sucesso em cada ensaio (no enunciado p=0,1);
  • \mathrm{Var}(X) é a variância, que mede o quadrado do espalhamento dos valores da variável.
    O desvio padrão \sigma é a raiz quadrada da variância:
\sigma=\sqrt{\mathrm{Var}(X)}.
Explicando de maneira bem simples: a variância dá uma medida em “unidades ao quadrado”; tirar a raiz quadrada volta para as mesmas unidades da variável e dá o desvio padrão, que é a medida de dispersão mais intuitiva.

Passo 3

Calcular a variância substituindo os valores n=10 e p=0,1 na fórmula:
\mathrm{Var}(X)=n\,p\,(1-p)=10\cdot0,1\cdot(1-0,1).
Agora calcule 1-p:
1-0,1=0,9.
Portanto
\mathrm{Var}(X)=10\cdot0,1\cdot0,9.
Multiplicando passo a passo:
10\cdot0,1=1,\quad 1\cdot0,9=0,9.
Logo
\mathrm{Var}(X)=0,9.

Passo 4

Calcular o desvio padrão como a raiz quadrada da variância:
\sigma=\sqrt{\mathrm{Var}(X)}=\sqrt{0,9}.
Algumas maneiras de ver o valor aproximado sem calculadora:
  • observar que 0,9 está entre 0,81 e 1, e \sqrt{0,81}=0,9, \sqrt{1}=1, então \sqrt{0,9} está entre 0,9 e 1;
  • usar a forma \sqrt{0,9}=\sqrt{\tfrac{9}{10}}=\dfrac{3}{\sqrt{10}} e lembrar que \sqrt{10}\approx3,1623, então \dfrac{3}{3,1623}\approx0,9487.
    Portanto
\sigma=\sqrt{0,9}\approx0,9487,
o que é maior que 0,9.

Passo 5

Comparando o resultado com o pedido do enunciado: \sigma\approx0,9487 e 0,9487\ge0,9. Assim, a afirmação "o desvio padrão da distribuição de probabilidade é igual ou superior a 0,9" é satisfeita.

Resposta

Verdadeiro

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