vetor de termos independentes \,(b_{1},b_{2},b_{3})^{T}.
Nenhuma outra informação numérica foi dada.]
Passo 2
Estratégia e ideia-chave (explicação curta do método): para classificar se o sistema tem solução única, nenhuma ou infinitas soluções é útil calcular o determinante de A (se não for zero existe solução única) e, no caso em que o determinante é zero, comparar a classificação da matriz A com a da matriz aumentada [A\mid b] (se as ranks forem iguais e menores que 3 há infinitas soluções; se a rank da aumentada for maior que a de A então não há solução). Vou fazer eliminação de Gauss para obter essas condições e, quando necessário, a solução geral.
Primeiro calculemos o determinante de A. Usando a expansão por cofatores pela primeira linha:
Finalmente da primeira equação x+2y+2a z=b_{1} obtemos
x=b_{1}-2y-2a z.
Substituindo z na expressão de y e depois y,z em x pode-se escrever as fórmulas fechadas (todas em função de a,b_{1},b_{2},b_{3}). Calculando e simplificando (fiz as contas), obtemos:
Essas expressões estão corretas para todo a\neq1. (Se quiser na prova dá para mostrar o passo-a-passo das substituições; aqui mostrei o procedimento e as fórmulas finais.)]
Passo 4
Caso [a=1). Agora \det(A)=0, então pode haver ou nenhuma ou infinitas soluções. Vamos repetir a eliminação com a=1.
Note que as duas linhas R_2 e R_3 têm os mesmos coeficientes à esquerda; portanto, para o sistema ser consistente é necessário e suficiente que as constantes à direita sejam iguais:
b_{2}-2b_{1}=b_{3}-b_{1}.
Simplificando essa igualdade obtemos a condição
b_{2}=b_{1}+b_{3}.
Se b_{2}\neq b_{1}+b_{3} então as linhas são contraditórias (mesma esquerda, constantes diferentes) e o sistema é inconsistente: não existe solução.
Se b_{2}=b_{1}+b_{3} então R_2 e R_3 são idênticas, a rank de A é 2 e a rank da aumentada também é 2. Assim há infinitas soluções (um grau de liberdade).
Agora, supondo a=1 e b_{2}=b_{1}+b_{3}, vamos encontrar todas as soluções. Das linhas após eliminação temos: