II. (0,40) Levando água para o segundo piso - Um cano com um diâmetro interno de 1,8 cm transporta água para o porão de uma casa a uma velocidade de 1,0 m / s com uma pressão de 190 kPa . Se o cano se estreita para 1,2 cm e sobe para o segundo piso, 5,6 m acima do ponto de entrada, quais são:
a) a velocidade e
b) a pressão da água no segundo piso?

Passo 1

O enunciado descreve um escoamento estacionário de água incompressível num cano que afunila ao mesmo tempo em que sobe 5,6,m de desnível. No ponto de entrada temos diâmetro D1=1,8,cm, velocidade v1=1,0,m/s e pressão p1=190,kPa; no segundo piso o diâmetro é D2=1,2,cm e queremos achar a velocidade v2 e a pressão p2. Para isso precisamos usar:
  1. Equação da continuidade ( A1v1 = A2v2),
  2. Equação de Bernoulli entre os dois pontos.

Passo 2

Pela continuidade de um fluido incompressível, as vazões volumétricas nos trechos são iguais:
A1,v1 ;=; A2,v2,
onde Ai=pi Di^24. Logo
v2 ;=; v1,A1A2 ;=; v1l(D1D2r)^2 ;=; 1,0cdotl(1,81,2r)^2 ;=;1,0cdot(1,5)^2 ;=;2,25 m/s

Passo 3

Agora aplicamos Bernoulli entre o ponto 1 (nível de entrada) e o ponto 2 (segundo piso), considerando rho=1000,kg/m³ e g=9,8,m/s²:
p1 + tfrac12rho v1^2 + rho g,z1 ;=; p2 + tfrac12rho v2^2 + rho g,z2
Como z2 - z1 = 5,6,m, rearranjamos para p2:
p2 = p1 + tfrac12,rhol(v1^2 - v2^2r) - rho g,(z2 - z1)

Passo 4

Substituindo os valores:
p2 = 190,000 + tfrac12cdot1000l(1,0^2 - 2,25^2r) - 1000cdot9,8cdot5,6
=190,000 +500,(1 - 5,0625) -54,880
=190,000 -2,031,25 -54,880 approx133,088,75 Pa approx133,1 kPa

Resposta

a) v2 = 2,25,m/s
b) p2 approx 133,1,kPa

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