Uma partícula move-se num potencial central esfericamente simétrico dado por U(r)=1 / r. Use o quadrado da velocidade, v^2=(dotr^2+r^2 dottheta^2+r^2 sen^2 theta dotvarphi^2) para escrever a energia cinética da partícula em coordenadas esféricas. A) Encontre a lagrangiana e as equações de movimento no formalismo de Lagrange.

Passo 1

O enunciado descreve uma partícula de massa m que se move num potencial central esfericamente simétrico dado por
U(r)=1r
O objetivo é usar as coordenadas esféricas (r,theta,varphi) e a expressão
v^2=dot r^2+r^2dottheta^2+r^2sin^2theta,dotvarphi^2
para escrever a energia cinética, montar a lagrangiana L=T-U e então obter as equações de movimento pelo formalismo de Lagrange.

Passo 2

A energia cinética em coordenadas esféricas é
T=tfrac12,m,v^2 =tfrac12,ml(dot r^2+r^2dottheta^2+r^2sin^2theta,dotvarphi^2r)

Passo 3

A lagrangiana é
L=T-U =tfrac12,ml(dot r^2+r^2dottheta^2+r^2sin^2theta,dotvarphi^2r) -1r

Passo 4

Para a coordenada r, aplicamos
ddtl(partial Lpartialdot rr) -partial Lpartial r=0
Calculamos
partial Lpartialdot r=mdot r, ddt(mdot r)=mddot r,
partial Lpartial r =m,r,dottheta^2+m,r,sin^2theta,dotvarphi^2 -l(-1r^2r) =m,rl(dottheta^2+sin^2theta,dotvarphi^2r)+1r^2
Logo a equação de r é
mddot r -l[m,rl(dottheta^2+sin^2theta,dotvarphi^2r)+tfrac1r^2r] =0

Passo 5

Para a coordenada theta, usamos
ddtl(partial Lpartialdotthetar) -partial Lpartial theta=0
Calculamos
partial Lpartialdottheta=m,r^2dottheta, ddt(m,r^2dottheta) =ml(2rdot r,dottheta+r^2ddotthetar),
partial Lpartial theta =m,r^2sinthetacostheta,dotvarphi^2
Assim a equação de theta é
ml(r^2ddottheta+2rdot r,dotthetar) -m,r^2sinthetacostheta,dotvarphi^2 =0

Passo 6

Para a coordenada varphi, como L não depende explicitamente de varphi, temos quantidade de movimento conjugada conservada:
ddtl(partial Lpartialdotvarphir)=0, partial Lpartialdotvarphi =m,r^2sin^2theta,dotvarphi
Logo
ddtl(m,r^2sin^2theta,dotvarphir)=0

Resposta

Lagrangiana:
L=tfrac12,ml(dot r^2+r^2dottheta^2+r^2sin^2theta,dotvarphi^2r)-1r
Equações de movimento:
mddot r -m,rl(dottheta^2+sin^2theta,dotvarphi^2r) -1r^2=0,
ml(r^2ddottheta+2rdot r,dotthetar) -m,r^2sinthetacostheta,dotvarphi^2=0,
ddtl(m,r^2sin^2theta,dotvarphir)=0

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