Uma partícula move-se num potencial central esfericamente simétrico dado por
. Use o quadrado da velocidade,
para escrever a energia cinética da partícula em coordenadas esféricas. A) Encontre a lagrangiana e as equações de movimento no formalismo de Lagrange.
Passo 1
O enunciado descreve uma partícula de massa
que se move num potencial central esfericamente simétrico dado por
O objetivo é usar as coordenadas esféricas
e a expressão
para escrever a energia cinética, montar a lagrangiana
e então obter as equações de movimento pelo formalismo de Lagrange.
Passo 2
A energia cinética em coordenadas esféricas é
Passo 3
A lagrangiana é
Passo 4
Para a coordenada
, aplicamos
Calculamos
Logo a equação de
é
Passo 5
Para a coordenada
, usamos
Calculamos
Assim a equação de
é
Passo 6
Para a coordenada
, como
não depende explicitamente de
, temos quantidade de movimento conjugada conservada:
Logo
Resposta
Lagrangiana:
Equações de movimento: