Um sistema físico é descrito pela lagrangiana
L=m2(dotrho^2+rho^2 dotvarphi^2+dotz^2)+a rho^2
onde ( rho, varphi, z ) são as coordenadas cilíndricas e a é uma constante. A) Determine a energia cinética e a energia potencial da partícula. B) Escreva as equações de movimento usando o formalismo de Lagrange.

Passo 1

O enunciado dá a lagrangiana em coordenadas cilíndricas
L=m2l(dotrho^2+rho^2dotvarphi^2+dotz^2r)+a,rho^2
e pede (A) as energias cinética e potencial e (B) as equações de movimento via formalismo de Lagrange. Vamos usar que em mecânica clássica
L=T-V
e aplicar as equações de Euler–Lagrange
ddtl(partial Lpartialdotqir)-partial Lpartial qi=0

Passo 2

Identificamos o termo cinético T como o coeficiente de tfrac12 nos quadrados das velocidades, e o potencial V de modo que L=T-V. Assim,
T=m2l(dotrho^2+rho^2dotvarphi^2+dotz^2r)
V=-a,rho^2

Passo 3

Para a coordenada rho:
partial Lpartialdotrho=m,dotrho, ddtl(m,dotrhor)=m,ddotrho,
partial Lpartial rho =m,rho,dotvarphi^2+2a,rho
Substituindo na Euler–Lagrange,
m,ddotrho-l(m,rho,dotvarphi^2+2a,rhor)=0

Passo 4

Para a coordenada varphi:
partial Lpartialdotvarphi=m,rho^2dotvarphi, partial Lpartial varphi=0,
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ddtl(m,rho^2dotvarphir)=0

Passo 5

Para a coordenada z:
partial Lpartialdotz=m,dotz, partial Lpartial z=0,
resultando em
m,ddotz=0

Resposta

A)
T=m2l(dotrho^2+rho^2dotvarphi^2+dotz^2r), V=-a,rho^2
B)
m,ddotrho-m,rho,dotvarphi^2-2a,rho=0,
ddtl(m,rho^2dotvarphir)=0,
m,ddotz=0

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