1 (40 pontos) Uma partícula de massa m=3,50 \mathrm{~kg} se move sob a ação de uma força variável. A posição da partícula é dada pela equação: \mathbf{r}(t)=\left(a+b t^{2}\right) \mathbf{i}+\left(c t^{3}\right) \mathbf{j}.com \mathbf{r} em metros e t em segundos; i e j são os versores unitários nas direçōes x e y, respectivamente. Os valores de a, b e c sāo conhecidos e iguais a: a=5,75 \mathrm{~m}, b=-1,63 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} e c=7,65 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{3}.
(a) Calcule a velocidade média da partícula entre t=0 e t_{1}=2,00 \mathrm{~s}. Qual a componente x da velocidade calculada?
(b) E a componente y entre os mesmos instantes?
(c) Agora calcule a velocidade instantânea em t_{1}=2,00 \mathrm{~s}. Qual sua componente na direção x ?
(d) E na direçāo y ?
(e) Considere a velocidade da partícula ao longo da direçāo x. Esboce o gráfico dessa velocidade em função do tempo e indique no gráfico o deslocamento entre os instantes t=0 e t_{1}=2,00 \mathrm{~s}.
(f) Calcule a força que atua sobre a partícula em t_{1}=2,00 \mathrm{~s}. Qual a componente dessa força na direção x ?
(g) E a componente da força na direção y ?

Passo 1

O enunciado dá a posição de uma partícula de massa m=3{,}50\\ \mathrm{kg} como
\mathbf{r}(t) = \bigl(a + b\,t^2\bigr)\,\mathbf{i} \;+\;\bigl(c\,t^3\bigr)\,\mathbf{j},
com a=5{,}75\\ \mathrm m, b=-1{,}63\\ \mathrm{m/s}^2 e c=7{,}65\\ \mathrm{m/s}^3.
Pede-se:
(a,b) velocidade média \Delta\mathbf r/\Delta t entre t=0 e t_1=2{,}00\\ \mathrm s e suas componentes x,y.
(c,d) velocidade instantânea \mathbf v(t)=\dot{\mathbf r}(t) em t_1 e suas componentes.
(e) gráfico de v_x(t) e indicação do deslocamento \Delta x.
(f,g) força \mathbf F=m\,\mathbf a em t_1 e suas componentes.

Passo 2

Derivando \mathbf r(t) obtemos a velocidade instantânea:
\mathbf v(t) = \frac{d\mathbf r}{dt} = \frac{d}{dt}\bigl(a + b\,t^2\bigr)\,\mathbf i + \frac{d}{dt}\bigl(c\,t^3\bigr)\,\mathbf j = \bigl(2\,b\,t\bigr)\,\mathbf i \;+\;\bigl(3\,c\,t^2\bigr)\,\mathbf j.

Passo 3

Velocidade média entre 0 e t_1:
\bar{\mathbf v} = \frac{\mathbf r(t_1)-\mathbf r(0)}{t_1-0} = \frac{\bigl[a+b\,t_1^2 - a\bigr]\,\mathbf i + \bigl[c\,t_1^3 - 0\bigr]\,\mathbf j}{t_1} = \frac{b\,t_1^2}{t_1}\,\mathbf i + \frac{c\,t_1^3}{t_1}\,\mathbf j = \bigl(b\,t_1\bigr)\,\mathbf i + \bigl(c\,t_1^2\bigr)\,\mathbf j.
Para t_1=2{,}00\\ \mathrm s:
\bar v_x = b\,(2{,}00) = 2\,b = 2\,( -1{,}63) = -3{,}26\\ \mathrm{m/s}, \quad \bar v_y = c\,(2{,}00)^2 = 4\,c = 4\,(7{,}65) = 30{,}6\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Velocidade instantânea em t_1=2{,}00\\ \mathrm s:
v_x(t_1) = 2\,b\,t_1 = 2\,(-1{,}63)\,(2{,}00) = -6{,}52\\ \mathrm{m/s}, \quad v_y(t_1) = 3\,c\,t_1^2 = 3\,(7{,}65)\,(2{,}00)^2 = 91{,}8\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Em x, v_x(t)=2\,b\,t é uma reta de coeficiente angular 2\,b=-3{,}26\\ \mathrm{m/s}^2, passando por (0,0) e por (2{,}00,-6{,}52).
O deslocamento \Delta x é a área sob v_x(t) de 0 a 2{,}00:
\Delta x = \int_0^{2} v_x(t)\,dt = \int_0^2 2\,b\,t\,dt = b\,t^2\Big|_0^2 = b\,(2)^2 = 4\,b = -6{,}52\\ \mathrm m.

Passo 6

Aceleração \mathbf a(t)=\dot{\mathbf v}(t):
a_x = \frac{d}{dt}(2\,b\,t) = 2\,b = -3{,}26\\ \mathrm{m/s}^2, \quad a_y = \frac{d}{dt}(3\,c\,t^2) = 6\,c\,t.
Em t_1=2{,}00\\ \mathrm s:
a_y(t_1) = 6\,c\,(2{,}00) = 6\,(7{,}65)\,(2{,}00) = 91{,}8\\ \mathrm{m/s}^2.
Força \mathbf F=m\,\mathbf a:
F_x = m\,a_x = 3{,}50\,(-3{,}26) = -11{,}41\\ \mathrm N, \quad F_y = m\,a_y(t_1) = 3{,}50\,(91{,}8) = 321{,}3\\ \mathrm N.

Resposta

(a) \bar v_x = -3{,}26\\ \mathrm{m/s}
(b) \bar v_y = 30{,}6\\ \mathrm{m/s}
(c) v_x(2{,}00) = -6{,}52\\ \mathrm{m/s}
(d) v_y(2{,}00) = 91{,}8\\ \mathrm{m/s}
(e) Gráfico de v_x(t)=2\,b\,t (reta de inclinação -3{,}26), com área sob a curva \Delta x=-6{,}52\\ \mathrm m.
(f) F_x = -11{,}41\\ \mathrm N
(g) F_y = 321{,}3\\ \mathrm N

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