1 (40 pontos) Uma partícula de massa m=3,50 \mathrm{~kg} se move sob a ação de uma força variável. A posição da partícula é dada pela equação: \mathbf{r}(t)=\left(a+b t^{2}\right) \mathbf{i}+\left(c t^{3}\right) \mathbf{j}.com \mathbf{r} em metros e t em segundos; i e j são os versores unitários nas direçōes x e y, respectivamente. Os valores de a, b e c sāo conhecidos e iguais a: a=5,75 \mathrm{~m}, b=-1,63 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} e c=7,65 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{3}.
(a) Calcule a velocidade média da partícula entre t=0 e t_{1}=2,00 \mathrm{~s}. Qual a componente x da velocidade calculada?
(b) E a componente y entre os mesmos instantes?
(c) Agora calcule a velocidade instantânea em t_{1}=2,00 \mathrm{~s}. Qual sua componente na direção x ?
(d) E na direçāo y ?
(e) Considere a velocidade da partícula ao longo da direçāo x. Esboce o gráfico dessa velocidade em função do tempo e indique no gráfico o deslocamento entre os instantes t=0 e t_{1}=2,00 \mathrm{~s}.
(f) Calcule a força que atua sobre a partícula em t_{1}=2,00 \mathrm{~s}. Qual a componente dessa força na direção x ?
(g) E a componente da força na direção y ?
Passo 1
O enunciado dá a posição de uma partícula de massa m=3{,}50\\ \mathrm{kg} como
com a=5{,}75\\ \mathrm m, b=-1{,}63\\ \mathrm{m/s}^2 e c=7{,}65\\ \mathrm{m/s}^3.
Pede-se:
(a,b) velocidade média \Delta\mathbf r/\Delta t entre t=0 e t_1=2{,}00\\ \mathrm s e suas componentes x,y.
(c,d) velocidade instantânea \mathbf v(t)=\dot{\mathbf r}(t) em t_1 e suas componentes.
(e) gráfico de v_x(t) e indicação do deslocamento \Delta x.
(f,g) força \mathbf F=m\,\mathbf a em t_1 e suas componentes.
Passo 2
Derivando \mathbf r(t) obtemos a velocidade instantânea:
\mathbf v(t) = \frac{d\mathbf r}{dt} = \frac{d}{dt}\bigl(a + b\,t^2\bigr)\,\mathbf i + \frac{d}{dt}\bigl(c\,t^3\bigr)\,\mathbf j = \bigl(2\,b\,t\bigr)\,\mathbf i \;+\;\bigl(3\,c\,t^2\bigr)\,\mathbf j.
Passo 3
Velocidade média entre 0 e t_1:
\bar{\mathbf v} = \frac{\mathbf r(t_1)-\mathbf r(0)}{t_1-0} = \frac{\bigl[a+b\,t_1^2 - a\bigr]\,\mathbf i + \bigl[c\,t_1^3 - 0\bigr]\,\mathbf j}{t_1} = \frac{b\,t_1^2}{t_1}\,\mathbf i + \frac{c\,t_1^3}{t_1}\,\mathbf j = \bigl(b\,t_1\bigr)\,\mathbf i + \bigl(c\,t_1^2\bigr)\,\mathbf j.
Em x, v_x(t)=2\,b\,t é uma reta de coeficiente angular 2\,b=-3{,}26\\ \mathrm{m/s}^2, passando por (0,0) e por (2{,}00,-6{,}52).
O deslocamento \Delta x é a área sob v_x(t) de 0 a 2{,}00:
\Delta x = \int_0^{2} v_x(t)\,dt = \int_0^2 2\,b\,t\,dt = b\,t^2\Big|_0^2 = b\,(2)^2 = 4\,b = -6{,}52\\ \mathrm m.