Um sistema de ponto flutuante usa base 3 , tem mantissa de 3 dígitos e os expoentes possíveis estão entre -1 e 1 . Considere que o sistema arredonda a mantissa (considerada como um número inteiro) para o inteiro mais próximo, com 0,5 \rightarrow 1. Responda justificando:
i) Quantos números diferentes esse sistema pode representar exatamente?
ii) \frac{1}{2} seria representado por qual número? Qual é o erro absoluto cometido?
Passo 1
O enunciado define um sistema de ponto flutuante com base 3, mantissa de t=3 dígitos normalizada (isto é, da forma
) e expoentes e variando de -1 a 1. Vamos contar quantos números esse sistema representa e depois aproximar \tfrac12.
Passo 2
Para números não-zero normalizados temos:
– d_{1}\in\{1,2\} (não pode ser zero),
– d_{2},d_{3}\in\{0,1,2\},
logo o total de mantissas possíveis é
2 \times 3 \times 3 = 18.
Os expoentes possíveis são e\in\{-1,0,1\}, ou seja, 3 escolhas.
Passo 3
Cada mantissa combinada com cada expoente gera um número não-zero. Há 18\times3=54 números positivos e, simetricamente, 54 números negativos. Mais o zero, totalizamos
54 + 54 + 1 = 109
números representáveis exatamente.
Passo 4
Para aproximar \tfrac12 em base 3: \tfrac12=0.11111\ldots_{3}. Normalizando dá
0.11111\ldots_{3} = 1.1111\ldots_{3}\times3^{-1}.
Mantissa infinita é 1.1111\ldots_{3}. Como só guardamos 3 dígitos, olhamos o 4º dígito (que vale 1) e comparamos a metade da base 3/2=1,5:
– como 1<1{,}5, não arredondamos para cima, mantemos os três dígitos 1.11_{3}.