Um sistema de ponto flutuante usa base 3 , tem mantissa de 3 dígitos e os expoentes possíveis estão entre -1 e 1 . Considere que o sistema arredonda a mantissa (considerada como um número inteiro) para o inteiro mais próximo, com 0,5 \rightarrow 1. Responda justificando:
i) Quantos números diferentes esse sistema pode representar exatamente?
ii) \frac{1}{2} seria representado por qual número? Qual é o erro absoluto cometido?

Passo 1

O enunciado define um sistema de ponto flutuante com base 3, mantissa de t=3 dígitos normalizada (isto é, da forma
\pm(d_{1}.d_{2}d_{3})_{3}\times 3^{e},\quad d_{1}\neq 0
) e expoentes e variando de -1 a 1. Vamos contar quantos números esse sistema representa e depois aproximar \tfrac12.

Passo 2

Para números não-zero normalizados temos:
d_{1}\in\{1,2\} (não pode ser zero),
d_{2},d_{3}\in\{0,1,2\},
logo o total de mantissas possíveis é
2 \times 3 \times 3 = 18.
Os expoentes possíveis são e\in\{-1,0,1\}, ou seja, 3 escolhas.

Passo 3

Cada mantissa combinada com cada expoente gera um número não-zero. Há 18\times3=54 números positivos e, simetricamente, 54 números negativos. Mais o zero, totalizamos
54 + 54 + 1 = 109
números representáveis exatamente.

Passo 4

Para aproximar \tfrac12 em base 3: \tfrac12=0.11111\ldots_{3}. Normalizando dá
0.11111\ldots_{3} = 1.1111\ldots_{3}\times3^{-1}.
Mantissa infinita é 1.1111\ldots_{3}. Como só guardamos 3 dígitos, olhamos o 4º dígito (que vale 1) e comparamos a metade da base 3/2=1,5:
– como 1<1{,}5, não arredondamos para cima, mantemos os três dígitos 1.11_{3}.

Passo 5

A mantissa armazenada vale
1.11_{3} = 1 + \tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{9} = \tfrac{13}{9},
e o valor aproximado é
\tfrac{13}{9}\times3^{-1} = \tfrac{13}{27}.
O erro absoluto é
\bigl|\tfrac12 - \tfrac{13}{27}\bigr| = \bigl|\tfrac{13{,}5}{27} - \tfrac{13}{27}\bigr| = \tfrac{0{,}5}{27} = \tfrac{1}{54}.

Resposta

(i) O sistema representa exatamente 109 números.
(ii) \tfrac12 é aproximado por \tfrac{13}{27} e o erro absoluto é \tfrac{1}{54}.

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