Qual seria o sistema de ponto flutuante com o menor número de elementos capaz de representar exatamente
e 6 . Quantos elementos ele tem?
Passo 1
O problema pede o sistema de ponto‐flutuante mais “enxuto” (isto é, com menos elementos) capaz de representar exatamente
,
e
. Vamos usar o critério de representação exata de racionais: um número da forma
é exatamente representável em base
com precisão
se, e somente se,
divide
. Além disso a forma normalizada exige que o dígito mais significativo da mantissa seja não‐nulo.
Passo 2
Analisando cada caso:
- Para
precisamos de , o que implica . - Para
precisamos de , o que implica .
Para satisfazer ambos,deve ser múltiplo de . O menor valor possível é .
Agora escolhemos a menor precisão. Com temos mantissa e verificamos:
todas com
. Logo
basta.
Passo 3
Precisamos incluir no intervalo de expoentes o valor
(para as frações) e
(para
). O menor intervalo que faz isso é
Passo 4
O número de elementos não‐nulos é
Somando o zero, o sistema tem ao todo
elementos.
Resposta
O sistema mínimo tem 31 elementos.