Qual seria o sistema de ponto flutuante com o menor número de elementos capaz de representar exatamente \frac{1}{2}, \frac{1}{3} e 6 . Quantos elementos ele tem?

Passo 1

O problema pede o sistema de ponto‐flutuante mais “enxuto” (isto é, com menos elementos) capaz de representar exatamente \tfrac12, \tfrac13 e 6. Vamos usar o critério de representação exata de racionais: um número da forma \tfrac{m}{n} é exatamente representável em base \beta com precisão p se, e somente se, n divide \beta^p. Além disso a forma normalizada exige que o dígito mais significativo da mantissa seja não‐nulo.

Passo 2

Analisando cada caso:
  • Para \tfrac12 precisamos de 2\mid\beta^p, o que implica 2\mid\beta.
  • Para \tfrac13 precisamos de 3\mid\beta^p, o que implica 3\mid\beta.
    Para satisfazer ambos, \beta deve ser múltiplo de 6. O menor valor possível é \beta=6.
    Agora escolhemos a menor precisão p. Com p=1 temos mantissa d_0\in\{1,2,3,4,5\} e verificamos:
\tfrac12 = 3\times6^{-1},\quad \tfrac13 = 2\times6^{-1},\quad 6 = 1\times6^{1},
todas com d_0\neq0. Logo p=1 basta.

Passo 3

Precisamos incluir no intervalo de expoentes o valor e=-1 (para as frações) e e=1 (para 6). O menor intervalo que faz isso é
L=-1,\quad U=1.

Passo 4

O número de elementos não‐nulos é
2\times(\beta-1)\times(U-L+1) =2\times(6-1)\times(1-(-1)+1) =2\times5\times3 =30.
Somando o zero, o sistema tem ao todo 30+1=31 elementos.

Resposta

O sistema mínimo tem 31 elementos.

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