( 40 pontos) Realize 3 modelos para um trator agrícola 4 \times 2 que conta com um banco com sistema para reduzir o impacto das vibrações no motorista. Os modelos devem permitir estudar as vibrações verticais do sistema, considerando elementos inércia, elasticidade e amortecimento. Um dos modelos deve possuir 1GL, outro 2GL e outro mais de 2 GL . Pelo menos um dos modelos de mais de 1 GL deve possuir pelo menos um grau de liberdade de rotação. Orientação:indique claramente qual(is) parte(s) do sistema representa(m) os diferentes elementos inércia, elasticidade e amortecimento, assim como também a coordenada que permite identificar cada grau de liberdade.

Passo 1

Você pediu: elaborar três modelos (um com 1 GL, outro com 2 GL e outro com mais de 2 GL) para estudar as vibrações verticais de um trator agrícola 4\times 2 que tem um banco com sistema de redução de impactos (assento com mola/amortecedor). Cada modelo deve explicitar quais partes do trator são representadas por massa (inércia), por elementos elásticos (molas) e por elementos dissipativos (amortecedores), e deve indicar claramente a coordenada que define cada grau de liberdade.
Informações relevantes que eu uso (fornecidas pelo enunciado / razoáveis para modelagem):
  • O foco é nas vibrações verticais (translação vertical) do conjunto veículo + banco + rodas.
  • O banco tem um sistema de isolamento (mola e amortecedor) que deve aparecer no modelo.
  • O trator tem pneus/rodas que fornecem rigidez ao contato com o solo (rigidez dos pneus).
  • Podemos simplificar partes complexas (ex.: chassis rígido, distribuir massas) para obter modelos com 1, 2 e >2 GL.
    A resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Modelo 1 — Modelo simples de 1 grau de liberdade (1 GL): banco com massa m isolado por mola e amortecedor equivalentes ao terreno.
Descrição física e idealização:
  • Representação: todo o motorista + banco + parte do assento que vibra considerado como uma única massa concentrada \,m.
  • Elemento elástico: mola equivalente k representando a rigidez combinada do sistema de suspensão do banco e, se desejarmos, um valor efetivo que represente parte da rigidez do conjunto veículo-assento vista pelo motorista.
  • Elemento dissipativo: amortecedor equivalente c do banco (o amortecedor do assento).
  • Entrada: deslocamento da estrada/terra pode ser introduzido como força externa F(t) aplicada à massa ou como deslocamento imposto da base; aqui, para estudar vibração livre, consideramos sem excitação externa.
Coordenada:
  • Definimos a coordenada única \,z(t) como o deslocamento vertical absoluto do banco (ou do centro de massa do conjunto motorista+assento), positivo para cima.
Equação do movimento (passo a passo didático):
  • Força de inércia: \,m\ddot z(t).
  • Força de amortecimento (viscosa linear): \,c\dot z(t) — lembra: amortecedor opõe-se à velocidade relativa; aqui base fixa, então é proporcional à velocidade \dot z.
  • Força elástica: \,k z(t) — proporcional ao deslocamento.
  • Equilíbrio (soma das forças = 0 para vibração livre): \,m\ddot z + c\dot z + k z = 0.
Parâmetros importantes e interpretação:
  • Frequência natural não amortecida:
\omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}}.
  • Fator de amortecimento (razão adimensional):
\zeta = \frac{c}{2\sqrt{km}}.
  • Observação prática: no dia da prova, se te pedirem tempo de resposta ou amortecimento, calcule \omega_n e \zeta; se \zeta<1 o sistema oscila amortecido, se \zeta>1 retorno sem oscilações.
Como usar esse modelo na prova:
  • É o modelo mais simples: rápido para obter \omega_n e \zeta.
  • Útil para avaliar a sensação de vibração do motorista quando o banco domina a dinâmica (quando massa do veículo varia lentamente comparado ao banco ou quando se quer um julgamento rápido da isolação do assento).
  • Indicação dos elementos do trator: inércia = motorista+assento m; elasticidade = mola do banco k; amortecimento = amortecedor do banco c.

Passo 3

Modelo 2 — Modelo de 2 graus de liberdade (2 GL): modelo tipo “quarter-car” adaptado para trator, com massa não-amortecida do eixo (massa não-suspensa) e massa do conjunto banco+carroceria (massa suspensa).
Descrição física e idealização:
  • Massas:
    • [m_s): massa suspensa (sprung mass) — representa a massa efetiva do chassi/estrutura local + banco + motorista que é suportada pela suspensão do veículo. É o grau de liberdade superior.
    • m_u: massa não suspensa (unsprung mass) — representa roda/axle/partes da suspensão local que ficam entre o solo e a carroceria.
  • Molas e amortecedores:
    • k_s, c_s: mola e amortecedor da suspensão entre m_s e m_u (suspensão do veículo).
    • k_t: rigidez do pneu entre m_u e o solo (modelo linear do pneu). Geralmente o pneu tem pouco amortecimento comparado ao c_s, por isso o amortecimento do pneu freqüentemente é desprezado ou agregado a c_s.
  • Entrada: desigualdade do terreno expressa por deslocamento do solo z_r(t) aplicada por k_t.
Coordenadas:
  • z_s(t): deslocamento vertical absoluto da massa suspensa m_s (o “corpo” sob o banco).
  • z_u(t): deslocamento vertical absoluto da massa não suspensa m_u (roda/asse).
Equações do movimento (derivação passo a passo):
  • Para m_s: forças verticais são: inércia m_s\ddot z_s, força do amortecedor entre massas c_s(\dot z_s - \dot z_u), força da mola entre massas k_s(z_s - z_u). Soma = 0 (sem outras forças externas diretas):
m_s \ddot z_s + c_s(\dot z_s - \dot z_u) + k_s (z_s - z_u) = 0.
  • Para m_u: inércia m_u\ddot z_u, forças do lado da suspensão (opostas ao que atua em m_s): -c_s(\dot z_s - \dot z_u) - k_s(z_s - z_u), e força do pneu ao solo k_t(z_u - z_r). Logo:
m_u \ddot z_u - c_s(\dot z_s - \dot z_u) - k_s(z_s - z_u) + k_t (z_u - z_r) = 0.
  • Reescrevendo para ficar uniforme:
\begin{cases} m_s \ddot z_s + c_s\dot z_s + k_s z_s - c_s\dot z_u - k_s z_u = 0,\\[4pt] m_u \ddot z_u - c_s\dot z_s - k_s z_s + (c_s + 0)\dot z_u + (k_s + k_t) z_u = k_t z_r. \end{cases}
Análise para a prova (como encontrar frequências naturais):
  • Para vibração livre e sem amortecimento ( c_s=0\]) e sem entrada (\(z_r=0), escreve-se no formato matricial:
\mathbf{M}\ddot{\mathbf{z}} + \mathbf{K}\mathbf{z} = \mathbf{0}, \quad \mathbf{z} = \begin{pmatrix} z_s \\\ z_u \end{pmatrix},
com
\mathbf{M} = \begin{pmatrix} m_s & 0 \\[2pt] 0 & m_u \end{pmatrix},\qquad \mathbf{K} = \begin{pmatrix} k_s & -k_s \\\\ -k_s & k_s + k_t \end{pmatrix}.
  • Frequências naturais obtêm-se da condição \det(\mathbf{K} - \omega^2 \mathbf{M})=0. Em prova, você monta essa determinante e resolve o polinômio quadrático em \omega^2.
Interpretação e uso:
  • Esse modelo mostra acoplamento entre corpo e roda e captura duas frequências naturais: uma de suspensão (baixo valor) e outra do conjunto não suspenso/pneu (mais alto).
  • Elementos do trator: inércias = m_s (chassi+assento+motorista efetivo) e m_u (roda/asse); elasticidade = k_s (suspensão) e k_t (pneu); amortecimento = c_s (amortecedor da suspensão). O banco pode estar incluído dentro de m_s ou modelado separadamente se for importante.]

Passo 4

Modelo 3 — Modelo com mais de 2 graus de liberdade e com pelo menos um grau de liberdade rotacional: meio-veículo (half-car) com rolamento (pitch) e banco modelado separadamente (modelo de 4 GL com rotação).
Escolha e justificativa do método:
  • Um meio-veículo (half-car) captura a rotação em torno do centro de gravidade (pitch), importante para tratores onde irregularidades frontais/traseiras provocam balanço que chega ao banco.
  • Incluímos o banco como massa separada (o objetivo é estudar a eficácia do sistema de banco).
  • Para manter a apresentação didática, apresento um modelo com 4 GL: deslocamento vertical do corpo z_b (heave), rotação (pitch) \theta, deslocamento do banco z_{seat} (relativo ao solo / corpo), e deslocamento de uma massa não suspensa representativa z_u (uma roda/axle representativa). Esse modelo é suficiente para ter rotação e mostrar acoplamentos; na prova você pode aumentar para 5 ou 6 GL (duas rodas, etc.) se necessário.
Definições e parâmetros (todos em TeX):
  • Massas e inércias:
    • M: massa do corpo (sprung mass do meio-veículo), concentrada no CG do corpo.
    • I: momento de inércia do corpo em torno do CG (responsável pela dinâmica de rotação).
    • m_{seat}: massa do banco + motorista (massa localizada sobre o corpo por meio da suspensão do banco).
    • m_u: massa não suspensa (roda/asse representativa).
  • Rigididades e amortecedores:
    • Suspensões dianteira/traseira podem ser representadas por duas molas/amortecedores; aqui simplificamos para uma suspensão única com rigidez k_s e amortecimento c_s aplicada a uma distância equivalente do CG, mas para pitch é melhor usar duas pontos front/rear; para simplicidade e clareza usarei geometria front/rear com distâncias a e b:
      • na prática: frente tem k_{sf}, c_{sf}, traseira tem k_{sr}, c_{sr}. Para manter notação compacta podemos denotar propriedades frontais e traseiras separadamente quando necessário.
    • Banco: mola do banco k_{seat} e amortecedor c_{seat} entre m_{seat} e o corpo. Eles representam o sistema do banco para reduzir vibração percebida pelo motorista.
    • Pneu (tire): rigidez k_t entre m_u e o solo; amortecimento de pneu desprezado para clareza.
  • Geometria:
    • a: distância horizontal do CG do corpo até o ponto da suspensão dianteira.
    • b: distância horizontal do CG até o ponto da suspensão traseira. (Se modelar apenas uma roda representativa, escolha a ou b conforme representação.)
Coordenadas (4 GL escolhidos):
  • z_b(t): deslocamento vertical absoluto do CG da carroceria (heave).
  • \theta(t): rotação (pitch) do corpo em torno do CG; pequeno ângulos, sign convention: \theta>0 inclina a frente para cima.
  • z_{seat}(t): deslocamento vertical absoluto da massa do banco m_{seat}. (poderia ser definido relativo ao corpo; aqui adotamos absoluto para consistência).
  • z_u(t): deslocamento vertical absoluto da massa não suspensa m_u (roda/axe).
Posições dos pontos de suspensão (aproximação de pequenas rotações):
  • Deslocamento vertical da suspensão frontal típica (ponto à distância a do CG) é aproximadamente z_b + a\,\theta.
  • Deslocamento vertical da suspensão traseira típica (ponto à distância b atrás do CG) é aproximadamente z_b - b\,\theta.
Equações do movimento (montagem passo a passo, usando forças e momentos):
  1. Equilíbrio vertical do corpo (massa M):
  • Inércia: M \ddot z_b.
  • Forças verticais das suspensões (supondo duas suspensões front e rear com constantes k_{sf},c_{sf} e k_{sr},c_{sr}; se só uma, basta omitir o outro termo):
    • Força da suspensão frontal sobre o corpo: -k_{sf}(z_b + a\theta - z_{rf}) - c_{sf}(\dot z_b + a\dot\theta - \dot z_{rf}). (Tomamos z_{rf} como deslocamento do solo sob a roda frontal.)
    • Força da suspensão traseira: -k_{sr}(z_b - b\theta - z_{rr}) - c_{sr}(\dot z_b - b\dot\theta - \dot z_{rr}). (Tomamos z_{rr} como solo traseiro.)
  • Força do banco sobre o corpo (reação do banco): + k_{seat}(z_{seat} - z_b) + c_{seat}(\dot z_{seat} - \dot z_b) (positivo para cima no corpo se o banco sobe).
  • Somando e igualando à inércia:
M\ddot z_b = -k_{sf}(z_b + a\theta - z_{rf}) - c_{sf}(\dot z_b + a\dot\theta - \dot z_{rf}) - k_{sr}(z_b - b\theta - z_{rr}) - c_{sr}(\dot z_b - b\dot\theta - \dot z_{rr}) + k_{seat}(z_{seat} - z_b) + c_{seat}(\dot z_{seat} - \dot z_b).
  1. Equilíbrio rotacional do corpo (momento em torno do CG):
  • Inércia rotacional: I \ddot \theta.
  • Momentos gerados pelas forças nas suspensões frontal e traseira (distâncias a e b):
    • Momento frontal (positivo sentido definido): -a vezes a força frontal: -a\big[-k_{sf}(z_b + a\theta - z_{rf}) - c_{sf}(\dot z_b + a\dot\theta - \dot z_{rf})\big]. (o sinal deve ser tratado consistentemente; aqui escrevo a contribuição total).
    • Momento traseiro: +b vezes a força traseira (considerando sinais).
  • Momento devido à força do banco se o banco não for aplicado no CG (se o banco estiver à distância x_{seat} do CG). Se o banco estiver próximo do CG, este termo pode ser pequeno; inclua se necessário: + x_{seat} [k_{seat}(z_{seat} - z_b) + c_{seat}(\dot z_{seat} - \dot z_b)].
  • Resultado (forma simbólica):
I \ddot\theta = -a\big[-k_{sf}(z_b + a\theta - z_{rf}) - c_{sf}(\dot z_b + a\dot\theta - \dot z_{rf})\big] + b\big[-k_{sr}(z_b - b\theta - z_{rr}) - c_{sr}(\dot z_b - b\dot\theta - \dot z_{rr})\big] + \text{(momento do banco)}.
(Em prova, escolha sinais consistentes e calcule termo a termo.)
  1. Equação para a massa do banco m_{seat}:
  • Inércia: m_{seat}\ddot z_{seat}.
  • Força elástica do banco: -k_{seat}(z_{seat} - z_b).
  • Força de amortecimento do banco: -c_{seat}(\dot z_{seat} - \dot z_b).
  • Portanto:
m_{seat}\ddot z_{seat} + c_{seat}(\dot z_{seat} - \dot z_b) + k_{seat}(z_{seat} - z_b) = 0.
  1. Equação para a massa não suspensa m_u (roda):
  • Inércia: m_u \ddot z_u.
  • Força do pneu: -k_t (z_u - z_r) (assumindo z_r é solo sob a roda representativa).
  • Força da suspensão entre m_u e o corpo (oposta à força sobre o corpo): +k_s(z_b + \text{rota terms} - z_u) + c_s(\dot z_b + \text{rota terms} - \dot z_u) dependendo se é dianteira ou traseira. A montagem exata depende se m_u representa frente ou trás.
  • Exemplo simplificado (roda dianteira com suspensão frontal):
m_u \ddot z_u + c_{sf}(\dot z_u - \dot z_b - a\dot\theta) + k_{sf}(z_u - z_b - a\theta) + k_t(z_u - z_{rf}) = 0.
Observações didáticas sobre estas equações:
  • Cada equação mostra claramente o termo de inércia ( M\ddot z_b,\,I\ddot\theta,\,m_{seat}\ddot z_{seat},\,m_u\ddot z_u), os termos elásticos ( k multiplicando diferenças de deslocamento) e os termos de amortecimento ( c multiplicando diferenças de velocidade). Estes são exatamente os elementos que o enunciado pediu para identificar.
  • Em prova, normalmente:
    • Linearize assumindo pequenos ângulos \theta (usar a\theta para deslocamento vertical do ponto da suspensão).
    • Coloque as equações na forma matricial \mathbf{M}\ddot{\mathbf{q}}+\mathbf{C}\dot{\mathbf{q}}+\mathbf{K}\mathbf{q}=\mathbf{F}(t), onde \mathbf{q}=(z_b,\theta,z_{seat},z_u)^\top.
    • Para vibração livre sem amortecimento e sem excitação, use \det(\mathbf{K}-\omega^2\mathbf{M})=0 para obter autovalores \omega^2.
Como usar este modelo na prova:
  • Ele permite estudar o efeito do pitch no conforto do motorista e como o banco isolador reduz acelerações percebidas.
  • O termo rotacional (momento de inércia I e distância a,b) é crucial para avaliar como buracos na frente ou atrás alteram a resposta do banco.
  • Em uma prova, você pode simplificar assumindo apenas suspensão na frente (ou atrás), ou aproximar k_{sf}=k_{sr}=k_s para reduzir complexidade. O importante é indicar claramente mapeamento massa/mola/amortecedor e as coordenadas.

Passo 5

Orientações práticas para a prova e escolhas de modelo:
  • Se o tempo for curto ou a pergunta pedir apenas uma estimativa do conforto do banco, use o Modelo 1 (1 GL): rápido, direto, entrega \omega_n e \zeta.
  • Se quiser capturar efeito roda-estrutura e ressonâncias adicionais, use o Modelo 2 (2 GL): dá duas frequências e mostra a importância da rigidez dos pneus.
  • Se a questão envolve distribuição de carga entre frente/trás, pitch ou avaliar como irregularidades frontais e traseiras afetam o banco, use o Modelo 3 (≥ 3 GL com rotação). Ele é mais trabalhoso, mas essencial quando o enunciado menciona movimento de rotação ou quando o banco está ligado à carroceria cuja rotação afeta vibração.
  • Sempre indique: quais partes reais do trator correspondem a cada massa, mola e amortecedor nos modelos. Em prova, desenhe rapidamente o diagrama de massas e elementos e escreva as equações de equilíbrio com nomes consistentes das variáveis — isso garante pontos mesmo se você não resolver todo o sistema.

Resposta

Modelo 1 (1 GL): massa do banco + motorista [m); mola do banco k; amortecedor do banco c. Coordenada: \;z(t). Equação: \;m\ddot z + c\dot z + k z = 0.
Modelo 2 (2 GL, quarter-car): massas m_s (sprung — chassi+assento+motorista) e m_u (unsprung — roda/asse); molas k_s (suspensão), k_t (pneu); amortecedor c_s (suspensão). Coordenadas: \;z_s(t),\,z_u(t). Equações:
\begin{cases} m_s \ddot z_s + c_s(\dot z_s - \dot z_u) + k_s(z_s - z_u) = 0,\\[4pt] m_u \ddot z_u - c_s(\dot z_s - \dot z_u) - k_s(z_s - z_u) + k_t(z_u - z_r) = 0. \end{cases}
Modelo 3 (>2 GL com rotação, half-car simplificado com banco): massas M\] (corpo), \(I (inércia rotacional), m_{seat} (banco+motorista), m_u (massa não suspensa); molas/amortecedores frontais e traseiros k_{sf},c_{sf},k_{sr},c_{sr}; mola/amortecedor do banco k_{seat},c_{seat}; rigidez de pneu k_t; distâncias geométricas a,b. Coordenadas: \;z_b(t) (heave do corpo), \theta(t) (pitch), \;z_{seat}(t) (banco), \;z_u(t) (roda). Equações (formas simbólicas):
\begin{aligned} M\ddot z_b &= -k_{sf}(z_b + a\theta - z_{rf}) - c_{sf}(\dot z_b + a\dot\theta - \dot z_{rf}) - k_{sr}(z_b - b\theta - z_{rr}) - c_{sr}(\dot z_b - b\dot\theta - \dot z_{rr})\\\ &\quad + k_{seat}(z_{seat} - z_b) + c_{seat}(\dot z_{seat} - \dot z_b),\\[4pt] I\ddot\theta &= \text{momentos das forças das suspensões e do banco (ver desenvolvimento)},\\[4pt] m_{seat}\ddot z_{seat} &+ c_{seat}(\dot z_{seat}-\dot z_b) + k_{seat}(z_{seat}-z_b) = 0,\\[4pt] m_u\ddot z_u &+ c_{sf}(\dot z_u-\dot z_b - a\dot\theta) + k_{sf}(z_u - z_b - a\theta) + k_t(z_u - z_r)=0. \end{aligned}çõ]

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