(100 pontos)
(a) Para os três modelos propostos, assuma que os amortecimentos e as forças externas são nulos e resolva analiticamente, ou seja “na mão”, por qualquer método apresentado nas aulas, excluindo o método de Euler (aquele usado para resolver de forma aproximada as equações usando o scilab). Pode usar o scilab para auxiliar nos cálculos (inversão de matrizes, cálculo de autovalores e autovetores, etc.) Assuma as condições iniciais dos sistemas: velocidades nulas e um deslocamento para baixo no centro de gravidade do veículo, de 4 cm para baixo. Atenção: Indique todos os passos necessários para a solução, sem extrair as soluções ou passos prontos dos livros ou referências. Caso tire alguma equação pronta sem explicação, isto irá diminuir a nota da questão.
(b) Represente graficamente as soluções obtidas e compare os resultados obtidos na parte (a) e responda se os resultados mudaram significativamente de um modelo para outro? E por que isso aconteceu.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas principais:
  1. (a) Para os três modelos propostos, assumir amortecimentos e forças externas nulos e resolver analiticamente (na mão) as equações de movimento, usando as condições iniciais: velocidades nulas e um deslocamento para baixo no centro de gravidade do veículo de 4\\ \text{cm}. Indicam que posso usar Scilab apenas para cálculos auxiliares (autovalores, autovetores, inversão de matrizes), mas a solução deve ser mostrada passo a passo, sem usar o método de Euler nem “tirar pronto” de livros.
  2. (b) Representar graficamente as soluções obtidas e comparar os resultados entre os três modelos; responder se mudaram significativamente e explicar por quê.
Informações fornecidas explicitamente no enunciado:
  • Condições iniciais: x'(0)=0 (velocidades nulas) e deslocamento inicial do centro de gravidade de 4\\ \text{cm} para baixo.
  • Amortecimentos nulos e sem forças externas (sistema livre e não amortecido).
  • Existem “três modelos propostos” (o enunciado refere-se a três modelos, mas o usuário não incluiu aqui as matrizes de massa, as matrizes de rigidez, nem o diagrama/descrição explícita desses modelos).
Importante: O enunciado depende de dados concretos dos três modelos (por exemplo: matrizes \,M e \,K, número de graus de liberdade, localização do deslocamento inicial — se no grau correspondente ao CG ou se é repartido nos nós — etc.). Esses dados NÃO foram enviados aqui. Sem as matrizes/diagrama dos modelos não é possível produzir as soluções numéricas e os gráficos pedidos especificamente para “os três modelos propostos”. Portanto, não posso calcular as soluções específicas nem desenhar os gráficos dos modelos reais que seu professor propôs.
Mesmo assim, para que você consiga aplicar imediatamente a resolução “na mão” quando tiver as matrizes/descrições dos modelos, abaixo vou ensinar, passo a passo e de forma bem prática e didática, o método completo para resolver esse tipo de problema (sistema linear, sem amortecimento, livre) e como gerar os gráficos e comparar resultados. Vou mostrar a teoria, provas curtas das propriedades que usamos, como calcular coeficientes a partir das condições iniciais, e também um exemplo numérico ilustrativo (exemplo didático, diferente dos seus modelos reais) para que você veja todo o procedimento computacional e de interpretação. Assim você não ficará perdido quando aplicar nos seus três modelos.

Passo 2

Escrevendo a equação de movimento geral para um sistema linear com múltiplos graus de liberdade (MDOF), sem amortecimento e sem forças externas:
M \,\ddot{x}(t) + K \, x(t) = 0.
Explicando cada termo (vamos com calma):
  • M é a matriz de massa do sistema. É uma matriz quadrada n\times n, simétrica e definida positiva (na prática, massas positivas).
  • K é a matriz de rigidez do sistema. Também é simétrica e, para sistemas estáveis, definida positiva.
  • x(t) é o vetor coluna das coordenadas generalizadas (deslocamentos dos graus de liberdade) em função do tempo; dimensão n\times 1.
  • \ddot{x}(t) é a segunda derivada temporal de x(t), ou seja as acelerações.
Nossa tarefa é resolver essa equação para x(t) dado x(0) (deslocamento inicial) e \dot{x}(0)=0 (velocidades iniciais nulas). Vou desenvolver o método modal (análise por modos próprios), que é o método padrão e prático para esses problemas.

Passo 3

Procurando soluções harmônicas: tentamos solução do tipo x(t)=\varphi \cos(\omega t) (ou em geral x(t)=\varphi e^{\lambda t}). Substituindo em M\ddot{x}+Kx=0 e usando \ddot{x}=-\omega^2 \varphi \cos(\omega t) obtemos, cancelando o fator comum \cos(\omega t),
(K - \omega^2 M)\,\varphi = 0.
Isto é um problema próprio generalizado: queremos valores \omega^2 (autovalores) e vetores \varphi (autovetores) tais que a equação acima seja satisfeita. Para que exista solução não trivial \varphi\neq 0, devemos ter
\det(K - \omega^2 M)=0.
Os soluções \omega_i^2 obtidas (com \omega_i>0) são os autovalores e os vetores \phi_i associados são os modos próprios.
Interpretação física: cada modo próprio \phi_i descreve uma forma de vibração em que todo o sistema oscila com frequência natural \omega_i (na ausência de amortecimento e força externa), com proporção fixa entre os deslocamentos das coordenadas.

Passo 4

Propriedades de ortogonalidade (essenciais e úteis):
Se \phi_i e \phi_j são autovetores associados a autovalores distintos \omega_i^2 e \omega_j^2, então vale a ortogonalidade em relação às matrizes M e K:
\phi_i^T M \phi_j = 0,\qquad \phi_i^T K \phi_j = 0,\quad \text{para } i\neq j.
Rápida demonstração (passo a passo):
  • Da equação própria, K\phi_i=\omega_i^2 M\phi_i e K\phi_j=\omega_j^2 M\phi_j.
  • Considere \phi_i^T K \phi_j. Usando a primeira: \phi_i^T K \phi_j = \omega_j^2 \phi_i^T M \phi_j.
  • Troque os índices: \phi_j^T K \phi_i = \omega_i^2 \phi_j^T M \phi_i. Como \phi_j^T K \phi_i = (\phi_i^T K \phi_j)^T = \phi_i^T K \phi_j (é um escalar), subtraindo as duas expressões obtemos
(\omega_j^2 - \omega_i^2)\,\phi_i^T M \phi_j = 0.
Se \omega_i^2\neq\omega_j^2, então \phi_i^T M \phi_j = 0. Substitindo de volta, também \phi_i^T K \phi_j = 0. QED.
Consequência prática: podemos escolher os autovetores \{\phi_i\} de tal forma que sejam orthogonais em relação a M e, convenientemente, normalizá-los para que
\phi_i^T M \phi_j = \delta_{ij},
onde \delta_{ij} é o delta de Kronecker (1 quando i=j, 0 caso contrário). Dizemos então que os modos estão “massa-normalizados”.

Passo 5

Desenvolvendo x(t) na base modal:
Como os autovetores \{\phi_i\} formam uma base (assumindo autovalores distintos ou base completa), escrevemos
x(t) = \sum_{i=1}^n \phi_i\,q_i(t) = \Phi\,q(t),
onde \Phi=[\phi_1\\ \phi_2\\ \cdots\\ \phi_n] é a matriz modal e q(t) é o vetor das coordenadas modais q_i(t).
Inserindo essa expansão em M\ddot{x}+Kx=0, multiplicando à esquerda por \Phi^T e usando as propriedades de ortogonalidade e normalização (assumindo \Phi massa-normalizada: \Phi^T M \Phi = I e \Phi^T K \Phi = \Omega^2, onde \Omega^2=\operatorname{diag}(\omega_1^2,\dots,\omega_n^2)), obtemos um sistema decouplado:
\ddot{q}(t) + \Omega^2 q(t) = 0.
Isto corresponde a n equações escalares independentes:
\ddot{q}_i(t) + \omega_i^2 q_i(t) = 0,\qquad i=1,\dots,n.
Cada equação é do tipo de uma massa única, solução conhecida: q_i(t)=A_i\cos(\omega_i t) + B_i\sin(\omega_i t).

Passo 6

Impondo as condições iniciais:
Condições iniciais originais: x(0)=x_0 (vetor deslocamentos iniciais), \dot{x}(0)=v_0=0. No seu enunciado foi dito "deslocamento para baixo no centro de gravidade do veículo de 4\\ \text{cm}". Isso significa numericamente que x_0 terá um componente (ou combinação de componentes) correspondente ao deslocamento do CG igual a -0,04\\ \text{m} (sinal conforme eixo adotado). É fundamental saber como esse deslocamento do CG se distribui nos graus de liberdade do modelo (em qual índice do vetor x ele aparece, ou como ele se relaciona com os deslocamentos nodais) — informação que não foi enviada. Vou assumir genericamente que x_0 é conhecido.
Dado que x(0)=\Phi q(0) e \dot{x}(0)=\Phi \dot{q}(0) e usando \Phi^T M \Phi = I, para achar os coeficientes modais:
  • Multiplique x(0)=\Phi q(0) à esquerda por \Phi^T M:
\Phi^T M x(0) = \Phi^T M \Phi \, q(0) = I\, q(0) = q(0).
Logo
q(0)=\Phi^T M x_0.
  • Para velocidades iniciais,
\dot{q}(0)=\Phi^T M v_0.
No seu caso v_0=0, então \dot{q}(0)=0.
Assim os coeficientes das soluções modais ficam:
A_i = q_i(0) = \phi_i^T M x_0,\qquad B_i = \dot{q}_i(0)/\omega_i = 0.
Portanto cada coordenada modal é simplesmente
q_i(t) = (\phi_i^T M x_0)\cos(\omega_i t).
A solução completa em espaço físico é
x(t) = \sum_{i=1}^n \phi_i\,(\phi_i^T M x_0)\cos(\omega_i t) = \Phi \big(\Phi^T M x_0\circ \cos(\Omega t)\big),
onde escrevo informalmente \cos(\Omega t) para o vetor (\cos(\omega_1 t),\dots,\cos(\omega_n t))^T. Em forma explícita e limpa:
x(t) = \sum_{i=1}^n (\phi_i^T M x_0)\,\phi_i\,\cos(\omega_i t).
Comentário prático: se os modos não estiverem normalizados por massa, a fórmula para os coeficientes fica
A_i = \frac{\phi_i^T M x_0}{\phi_i^T M \phi_i},
então é conveniente normalizar ou usar essa expressão geral.

Passo 7

Resumo do algoritmo prático (passo a passo que você deve executar “na mão” + com auxílio do Scilab apenas para cálculos numéricos):
  1. A partir do seu modelo, escreva as matrizes \,M e \,K com dimensões n\times n.
  2. Resolva o problema próprio generalizado \det(K-\omega^2 M)=0 para obter os n autovalores \omega_i^2 (e tome \omega_i=\sqrt{\omega_i^2}). Calcule os autovetores \phi_i.
    • Na prática você calcula o par (\omega_i^2,\phi_i) numericamente com Scilab (função de autovalores generalizados). Aqui não se perde o caráter “analítico” porque o método e as etapas de montagem e uso dos resultados devem ser mostradas.
  3. Selecione/autovalide as direções dos autovetores e normalize-os por massa para que \phi_i^T M \phi_i = 1. Para isso, calcule cada norma de massa n_i=\sqrt{\phi_i^T M \phi_i} e substitua \phi_i \leftarrow \phi_i / n_i.
  4. Escreva as condições iniciais x_0 e v_0 no mesmo sistema de coordenadas (determinar como o deslocamento de 4\\ \text{cm} no CG é representado em x_0 — isto depende do modelo).
  5. Calcule as coordenadas modais iniciais: q(0)=\Phi^T M x_0 e \dot{q}(0)=\Phi^T M v_0.
  6. Escreva a solução modal: q_i(t)=q_i(0)\cos(\omega_i t) + \frac{\dot{q}_i(0)}{\omega_i}\sin(\omega_i t).
    • No seu caso \dot{q}_i(0)=0, então q_i(t)=q_i(0)\cos(\omega_i t).
  7. Reconstrua x(t)=\Phi q(t)=\sum_i \phi_i q_i(t).
  8. Para gerar gráficos: avalie x(t) em uma malha de tempo t_k (por exemplo de t=0 até alguns segundos com passo pequeno) e plote as componentes de x(t) de interesse (por exemplo o deslocamento do CG ao longo do tempo). Compare os vetores x(t) obtidos para os três modelos.
Observação sobre “fazer na mão”: os passos analíticos (montar M,K, escrever o problema próprio, derivar a ortogonalidade e a formula final, normalizar modos, obter expressões dos coeficientes) são matematicamente “feito na mão”. A obtenção numérica dos autovalores/autovetores de matrizes maiores que 2\times2 costuma ser feita com auxílio de um computador; isso é permitido pelo enunciado. O que importa é que você mostre os passos, a normalização, o cálculo dos coeficientes e a reconstrução.

Passo 8

Dicas para representar graficamente e comparar modelos (passo a passo prático):
  • Escolha uma malha de tempo adequada: por exemplo, se a menor frequência natural é \omega_{\min} (rad/s), uma duração de análise de T=5\cdot(2\pi/\omega_{\min}) cobre várias oscilações; escolha passo de tempo \Delta t tal que \Delta t \le \frac{1}{20}\frac{2\pi}{\omega_{\max}} (pelo menos 20 pontos por período da maior frequência) para ter curvas suaves.
  • Para cada modelo:
    1. Calcule \omega_i e \phi_i, normalize por massa.
    2. Calcule q_i(0)=\phi_i^T M x_0.
    3. Para cada instante t_k, calcule q_i(t_k)=q_i(0)\cos(\omega_i t_k).
    4. Calcule x(t_k)=\sum_i \phi_i q_i(t_k).
  • Plote a componente de interesse (p.ex. a coordenada do CG) versus tempo para os três modelos no mesmo gráfico para comparar.
  • Outra forma de comparação: faça transformada de Fourier (FFT) do sinal do CG para ver quais modos contribuem mais; ou compare amplitudes iniciais dos modos q_i(0) (se q_i(0) é pequeno, aquele modo não contribui muito).

Passo 9

Interpretação física do que você pode esperar ao comparar os três modelos (explicação com linguagem simples e intuitiva):
  • Se os três modelos representam o mesmo veículo com aproximações ligeiramente diferentes (por ex., um modelo com 1 grau de liberdade vertical do CG, outro com 2 graus de liberdade separando suspensão dianteira/traseira, outro com 3 DOF incluindo rotação), o comportamento pode ser qualitativamente parecido para a resposta do CG se:
    • As frequências naturais dominantes que afetam o CG não mudarem muito entre os modelos;
    • A massa e rigidez equivalentes vista pelo CG forem parecidas.
  • Porém a diferença aparece se os modelos descrevem modos adicionais (por exemplo modo de cabeceio ou modos locais) que alteram fortemente como o deslocamento do CG se decompõe nos modos próprios. Em resumo:
    • Se os modelos têm propriedades dinâmicas efetivamente similares para o modo que domina o deslocamento do CG, os resultados não mudam significativamente.
    • Se os modelos têm diferentes distribuições de massa ou rigidez que alteram frequências e formas modais, a resposta do CG pode mudar de forma apreciável.
  • Em termos práticos, modelos mais elaborados normalmente mostram mais modos (mais frequências), e a resposta instantânea pode conter alta frequência adicional que não aparece em modelos simplificados; mas a amplitude e frequência fundamental podem permanecer próximas dependendo de como foi feita a modelagem.

Passo 10

Exemplo numérico ilustrativo (didático) — NÃO é nenhum dos seus três modelos, serve só para ver contas e aplicar o procedimento:
Considere um sistema simples de 2 graus de liberdade (exemplo para praticar os passos).
Escolha (exemplo didático):
M=\begin{pmatrix}2 & 0\\[2pt] 0 & 1\end{pmatrix}\quad\text{(kg)},\qquad K=\begin{pmatrix}1000 & -300\\[2pt] -300 & 500\end{pmatrix}\quad\text{(N/m)}.
Passos para resolver (faça você mesmo com Scilab para obter números):
  1. Resolva (K-\omega^2 M)\varphi=0 — calcule \omega_1,\omega_2 e \phi_1,\phi_2.
  2. Normalize por massa: calcule n_i=\sqrt{\phi_i^T M \phi_i} e faça \phi_i\leftarrow\phi_i/n_i.
  3. Defina condição inicial: por exemplo x_0=( -0{,}04,0)^T (deslocamento de -4\\ \text{cm} no primeiro grau de liberdade, velocidades nulas).
  4. Calcule q_i(0)=\phi_i^T M x_0.
  5. A solução é x(t)=\sum_i \phi_i q_i(0)\cos(\omega_i t). Avalie em pontos t_k para plotar.
Por que este exemplo ajuda? Você verá passo a passo como extrair \omega_i, normalizar os modos, obter q_i(0) e reconstruir x(t). Troque os números por aqueles dos seus modelos reais na hora de aplicar à prova.]

Passo 11

Como organizar a apresentação “na mão” na sua entrega (o que seu professor espera ver):
  1. Apresente as matrizes M e K dos três modelos (escreva-as explicitamente).
  2. Escreva o problema próprio: (K-\omega^2 M)\varphi=0 e a condição de existência de soluções não triviais.
  3. Mostre como se obtêm \omega_i^2 e \phi_i (pode dizer que usou Scilab para extrair os autovalores/autovetores e mostrar os comandos/saída).
  4. Demonstre a ortogonalidade e explique a normalização por massa.
  5. Aplique as condições iniciais: calcule q(0) e \dot{q}(0).
  6. Apresente a solução modal e reconstrua x(t).
  7. Mostre os gráficos do deslocamento do CG para os três modelos (mesmo eixo de tempo) e faça a comparação comentada.
  8. Discuta: quais modos dominam, se o resultado mudou muito entre modelos e por quê (use as frequências e os coeficientes modais para justificar).

Passo 12

Se você quiser, aqui está um checklist rápido para quando for aplicar isso aos seus três modelos já com as matrizes:
  • [ ] Confirmar a convenção de sinal e unidade para o deslocamento de 4\\ \text{cm} (metre: 0{,}04\\ \text{m}, sinal negativo se “para baixo”).
  • [ ] Montar x_0 corretamente (qual componente ou combinação corresponde ao deslocamento do CG).
  • [ ] Calcular autovalores/autovetores e normalizar por massa.
  • [ ] Calcular q(0)=\Phi^T M x_0.
  • [ ] Reconstruir x(t) e plotar a componente CG.
  • [ ] Repetir para os três modelos e comparar.
Você consegue fazer isso! Se quiser, me envie as matrizes M e K dos três modelos (ou o diagrama com os parâmetros) e eu aplico todos esses passos explicitamente, com cálculo dos autovalores, autovetores, coeficientes modais, expressão final x(t) e gráficos comparativos. Vou fazer tudo “na mão” mostrando cada conta e cada normalização para você poder entender e replicar na prova.

Resposta

(a) Não é possível produzir as soluções analíticas numéricas específicas porque as matrizes/descrições dos três modelos (matrizes M, K, e como o deslocamento de 4\\ \text{cm} no CG se distribui nos graus de liberdade) não foram fornecidas. Entreguei o método completo e passo a passo para resolver analiticamente qualquer modelo linear não amortecido e como aplicar as condições iniciais para obter x(t).\n(b) Não é possível gerar os gráficos e comparar numericamente sem os modelos. Em termos qualitativos: os resultados mudam pouco entre modelos que têm frequências e modos dominantes similares para o CG; mudam significativamente se a distribuição de massa/rigidez altera muito as frequências ou as formas modais que participam do deslocamento inicial.

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