( 40 pontos) Determine as equações de movimento mais gerais possíveis (contendo elementos elasticidade, amortecedor, inércia e forças externas), considerando sistemas forçados para cada um dos modelos propostos na questão 1. Explique passo a passo como determinou a equação de movimento de cada sistema. Dica: Caso precise fazer diagramas de corpo livre, pode desconsiderar as forças de peso e também as deflexões estáticas nas molas. Nesse caso, deve indicar que o diagrama de corpo livre está incompleto.
Passo 1
O enunciado pede: “Determine as equações de movimento mais gerais possíveis (contendo elasticidade, amortecedor, inércia e forças externas), considerando sistemas forçados para cada um dos modelos propostos na questão 1.”\n
Informações relevantes do enunciado que eu tenho agora:\n
A tarefa é escrever as equações de movimento contendo massa (inércia), mola (elasticidade), amortecedor (amortecimento) e forças externas, para cada modelo que estava na “questão 1”.\n
O que falta e impede uma solução específica:\n
Os “modelos propostos na questão 1” não foram fornecidos nesta mensagem. Não tenho as figuras, diagramas ou descrições desses modelos. Sem eles não posso escrever as equações de movimento específicas pedidas (pois cada arranjo — por exemplo, massa única, dois graus de liberdade, molas em série/paralelo, excitação na base etc. — gera equações diferentes).\n
Portanto: não posso determinar exatamente as equações específicas para os modelos da questão 1 porque preciso das figuras/descrições desses modelos. Vou então fazer o seguinte (útil para a prova):\n
Explicar passo a passo o método geral para obter a equação de movimento de qualquer sistema linear massa-mola-amortecedor forçado (FBD, convenções de sinal, aplicação de \text{F}=m\ddot{u}).\n
Fornecer os formulários “mais gerais possíveis” e exemplos canônicos (SDOF translacional, SDOF com excitação da base, 2DOF translacional, forma matricial) que você poderá aplicar aos modelos que estavam na questão 1 assim que tiver as figuras.\n
Observação final deste passo: não resolvi nada ainda; apenas deixei claro o que é pedido e que falta a figura/descrição original. A partir do Passo 2 eu ensino como montar as equações e dou exemplos completos que costumam cobrir a maioria dos modelos de prova.
Passo 2
Conceito básico e estratégia (a “receita” que você usará na prova).\n
Desenhe o diagrama de corpo livre (FBD) do corpo (ou de cada massa / corpo) isolando-o: desenhe as forças de mola, amortecedor e forças externas aplicadas ao corpo.\n
Escolha um sistema de coordenadas e escolha sinais (por exemplo: deslocamento positivo para a direita; forças elásticas que tentam restaurar para a posição de referência têm sinal negativo quando o deslocamento é positivo).\n
Aplique a Segunda Lei de Newton (translacional): \displaystyle \sum F = m\ddot{u}, onde \displaystyle m é a massa do corpo e \displaystyle u(t) é sua coordenada (deslocamento absoluto) — lembre que \ddot{u} é a aceleração.\n
Escreva cada força elástica e viscosa com base nos deslocamentos e velocidades relativas: mola -> força proporcional ao alongamento; amortecedor -> força proporcional à velocidade relativa. Exemplo genérico: força da mola entre dois pontos u_a e u_b é \displaystyle k(u_a - u_b); força do amortecedor é \displaystyle c(\dot{u}_a - \dot{u}_b).\n
Agrupe termos em forma padrão: \displaystyle m\ddot{u} + c\dot{u} + k u = \text{(força externa ou termos de excitação)}.\n
Explicação dos símbolos (sempre declare): \n
\displaystyle m: massa (inércia), unidades kg.\n
\displaystyle c: coeficiente de amortecimento (viscoso), unidades Ns/m.\n
\displaystyle k: rigidez da mola, unidades N/m.\n
\displaystyle u(t): deslocamento absoluto do grau de liberdade considerado, função do tempo.\n
\displaystyle f(t) (ou \displaystyle F(t)): força externa aplicada, função do tempo.\n
Dica prática: quando houver massas conectadas entre si, as forças entre elas aparecem com sinais opostos nas equações de cada massa (ação e reação). Sempre escreva a equação para cada massa separadamente.
Passo 3
Exemplo 1 (modelo canônico SDOF translacional com força externa aplicada diretamente à massa):\n
Considere uma massa \displaystyle m ligada a uma mola \displaystyle k e um amortecedor \displaystyle c que à sua vez estão fixos ao solo. Uma força externa \displaystyle f(t) age na massa para a direita (positiva). Diagrama de corpo livre (com peso desconsiderado, conforme dica): forças para a esquerda são as da mola e do amortecedor se u>0.\n
Aplique \displaystyle \sum F = m\ddot{u}:\n
Força da mola: \displaystyle -k\,u(t) (tenta levar a massa para u=0).\n
Força do amortecedor: \displaystyle -c\,\dot{u}(t).\n
Força externa: \displaystyle f(t) (positiva se para a direita).\n
Portanto:\n
m\ddot{u}(t) + c\dot{u}(t) + k\,u(t) = f(t).\n
Interpretação didática de cada termo:\n
\displaystyle m\ddot{u}: termo de inércia — resistência à aceleração.\n
\displaystyle c\dot{u}: amortecimento viscoso — dissipa energia, proporcional à velocidade relativa.\n
\displaystyle k u: força restauradora da mola — tende a devolver para a posição de equilíbrio.\n
Esse é o modelo mais simples e o ponto de partida para a maioria das provas.
Passo 4
Exemplo 2 (SDOF com excitação na base — quando a mola/amortecedor se ligam a uma base que se move):\n
Situação: a massa \displaystyle m está ligada a uma mola \displaystyle k e amortecedor \displaystyle c cuja outra extremidade tem deslocamento imposto \displaystyle y(t) (ex.: vibração da base). A massa tem deslocamento absoluto \displaystyle u(t).\n
Forças no corpo (FBD):\n
Força da mola sobre a massa: \displaystyle -k\big(u(t)-y(t)\big) (proporcional ao alongamento relativo).\n
Força do amortecedor sobre a massa: \displaystyle -c\big(\dot{u}(t)-\dot{y}(t)\big).\n
Equação pela Segunda Lei:\n
onde \displaystyle f(t) é qualquer força externa aplicada diretamente à massa. Se não houver força externa além da base, coloque \displaystyle f(t)=0.\n
É útil trabalhar com a coordenada relativa \displaystyle x(t)=u(t)-y(t). Substituindo \displaystyle u=x+y e \displaystyle \ddot{u}=\ddot{x}+\ddot{y} obtemos:\n
m\big(\ddot{x}(t)+\ddot{y}(t)\big) + c\dot{x}(t) + k x(t) = f(t).\n
Rearranjando em termos de x:\n
m\ddot{x}(t) + c\dot{x}(t) + k x(t) = f(t) - m\ddot{y}(t).\n
Explicação: a aceleração da base \ddot{y} aparece multiplicada por \displaystyle m no lado direito — representa a excitação inercial induzida pela base.
Passo 5
Exemplo 3 (sistema linear com dois graus de liberdade translacionais — muito comum em prova):\n
Considere duas massas \displaystyle m_1 e \displaystyle m_2. Massas conectadas por mola \displaystyle k_2 e amortecedor \displaystyle c_2 entre si; massa m_1 conectada ao solo por mola \displaystyle k_1 e amortecedor \displaystyle c_1. Forças externas \displaystyle f_1(t) aplicadas em m_1 e \displaystyle f_2(t) aplicadas em m_2. Deslocamentos absolutos: \displaystyle u_1(t) e \displaystyle u_2(t).\n
Monte as equações por F=ma para cada massa, lembrando que a força de interação entre massas aparece com sinais opostos:\n
Para \displaystyle m_1:\n
Força da mola/amortecedor ao solo: -k_1 u_1 - c_1 \dot{u}_1.\n
Força da conexão com m_2 (para a direita quando u_1>u_2): -k_2(u_1-u_2) - c_2(\dot{u}_1-\dot{u}_2).\n
Somando e igualando a m_1\ddot{u}_1:\n
Essas duas equações formam um sistema acoplado de EDOs de segunda ordem. Observe como cada termo surge do balanço de forças no FBD de cada massa.\n
Dica prática: ao escrever, junte termos por massas: por exemplo, no primeiro eq. os coeficientes de \dot{u}_1 serão c_1+c_2, de \dot{u}_2 serão -c_2, e assim por diante.
Passo 6
Forma matricial geral (muito útil para sistemas com n graus de liberdade):\n
Para um sistema linear com n graus de liberdade, introduza os vetores coluna de deslocamentos, velocidades e acelerações:\n \displaystyle \mathbf{u}(t)=\begin{pmatrix}u_1(t)\\\ \vdots\\\ u_n(t)\end{pmatrix}, \displaystyle \dot{\mathbf{u}}(t), \displaystyle \ddot{\mathbf{u}}(t), e o vetor de forças externas \displaystyle \mathbf{f}(t).\n
As equações acopladas escrevem-se compactamente como:\n
onde \displaystyle \mathbf{M} é a matriz de massa (diagonal com massas se as coordenadas forem as massas absolutas), \displaystyle \mathbf{C} a matriz de amortecimento e \displaystyle \mathbf{K} a matriz de rigidez. Para o exemplo 2DOF do Passo 5, as matrizes ficam (assumindo amortecimento e rigidez apenas conforme descrito):\n
Explicação de montagem (regra prática): a diagonal de \mathbf{K} contém a soma das rigidezes conectadas diretamente a cada grau de liberdade; os termos fora da diagonal são negativos para conexões entre graus e iguais à rigidez da conexão. O mesmo princípio vale para \mathbf{C}. Para \mathbf{M}, se cada coordenada describe uma massa isolada, a matriz é diagonal.]
Passo 7
Outros casos úteis e observações (o que costuma cair na prova):\n
Mola e amortecedor em paralelo entre dois corpos: o termo relativo é k(u_a-u_b) e c(\dot{u}_a-\dot{u}_b).\n
Mola/amortecedor em série exigem transformação equivalente (mais raro em problemas lineares simples; prefira sempre representar cada elemento e escrever as equações de compatibilidade).\n
Rotacional (ângulos): análogos com \displaystyle J (momento de inércia), \displaystyle c_\theta (amortecimento rotacional), \displaystyle k_\theta (rigidez rotacional) e torque \displaystyle T(t):\n
Se o problema tem não linearidade (mola não linear, grande deflexão, atrito Coulomb), o procedimento FBD e \sum F = m\ddot{u} continua válido, mas a expressão das forças deixa de ser linear (por isso a equação resultante pode não ser da forma clássica linear). Em provas de curso básico, normalmente linearizam-se as relações em torno de um ponto de equilíbrio.\n
Se a dica da questão pediu desconsiderar peso e deflexões estáticas, proceda como fizemos: você escreve as forças elásticas e viscosas somente em termos de deslocamentos dinâmicos relativos; indique que o FBD está incompleto em relação ao peso/deflexão estática, conforme a dica do enunciado.
Passo 8
Como proceder quando você tiver os modelos da “questão 1” (passo-a-passo rápido para aplicar na prova):\n
Identifique cada massa/ângulo que será um grau de liberdade e nomeie-os (\displaystyle u_1,u_2,\dots).\n2. Para cada massa: desenhe FBD, escreva forças da mola/amortecedor em termos de deslocamentos/velocidades relativas.\n3. Escreva \displaystyle \sum F = m_i \ddot{u}_i e inclua todas as forças que atuam naquela massa (não esqueça sinais!).\n4. Refaça para todas as massas. Reorganize para obter o sistema no formato padrão.\n5. Se quiser, agrupe em \mathbf{M}\ddot{\mathbf{u}}+\mathbf{C}\dot{\mathbf{u}}+\mathbf{K}\mathbf{u}=\mathbf{f}(t).\n\nSe você me enviar as figuras/modelos da questão 1 eu aplico exatamente esse algoritmo para cada modelo e te devolvo as equações específicas passo a passo.
Resposta
Não é possível determinar as equações de movimento específicas pedidas porque os modelos da “questão 1” (figuras/descrições) não foram fornecidos.