3 (40 pontos) Resolver o PVI a seguir usando transformadas de Laplace
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime \prime}+9 y=3 u_{5}(t)+6 \delta(t-5) \\\ y(0)=-2 \\\ y^{\prime}(0)=4 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
\begin{cases} y''+9y = 3\,u_{5}(t) + 6\,\delta(t-5),\\\ y(0)=-2,\quad y'(0)=4, \end{cases}
usando transformada de Laplace. Vamos aplicar L em ambos os lados, usar condições iniciais, tratar as transformadas de u_{5}(t) e \delta(t-5) e depois inverter para obter y(t).

Passo 2

Tomando transformada de Laplace em
y''+9y = 3\,u_{5}(t) + 6\,\delta(t-5),
temos
\mathcal{L}\{y''\} + 9\,\mathcal{L}\{y\} = \bigl(s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0)\bigr) + 9\,Y(s).
Substituindo y(0)=-2 e y'(0)=4, o lado esquerdo vira
(s^2+9)\,Y(s) - \bigl(s(-2)+4\bigr) = (s^2+9)\,Y(s) +2s -4.
No lado direito,
\mathcal{L}\{3\,u_{5}(t)\} = \frac{3\,e^{-5s}}{s}, \quad \mathcal{L}\{6\,\delta(t-5)\} = 6\,e^{-5s}.

Passo 3

Igualando os dois lados,
(s^2+9)\,Y(s) +2s -4 = \frac{3\,e^{-5s}}{s} + 6\,e^{-5s}.
Isolando Y(s),
Y(s) = \frac{-2s+4}{s^2+9} \;+\; e^{-5s}\,\Bigl(\frac{3}{s(s^2+9)} + \frac{6}{s^2+9}\Bigr).

Passo 4

Separamos Y(s) em duas partes:
Y_1(s) = \frac{-2s+4}{s^2+9}, \qquad Y_2(s) = e^{-5s}\,\frac{3}{s(s^2+9)}, \qquad Y_3(s) = e^{-5s}\,\frac{6}{s^2+9}.

Passo 5

Inversão de \;Y_1(s)=\tfrac{-2s}{s^2+9} + \tfrac{4}{s^2+9}:
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{-2s}{s^2+9}\Bigr\} = -2\cos(3t), \qquad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{4}{s^2+9}\Bigr\} = \frac{4}{3}\sin(3t).
Logo a parte sem atraso é
y_1(t) = -2\cos(3t) + \frac{4}{3}\sin(3t).

Passo 6

Agora invertendo cada termo com fator e^{-5s}:
  1. Para Y_3(s)=e^{-5s}\,\tfrac{6}{s^2+9}, sabe-se que
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{6}{s^2+9}\Bigr\} = 2\sin(3t),
logo, pelo teorema do deslocamento,
y_3(t) = 2\,\sin\bigl(3(t-5)\bigr)\,u_{5}(t).
  1. Para Y_2(s)=e^{-5s}\,\tfrac{3}{s(s^2+9)}, fazemos frações parciais:
\frac{3}{s(s^2+9)} = \frac{1/3}{s} \;+\;\frac{-\tfrac{1}{3}s}{s^2+9},
cuja inversa é
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{3}{s(s^2+9)}\Bigr\} = \frac{1}{3} - \frac{1}{3}\cos(3t) = \frac{1-\cos(3t)}{3}.
Aplicando deslocamento,
y_2(t) = \frac{1-\cos\bigl(3(t-5)\bigr)}{3}\;u_{5}(t).

Passo 7

Somando todas as contribuições, a solução é
y(t) = y_1(t) + y_2(t) + y_3(t) = -2\cos(3t) + \frac{4}{3}\sin(3t) + u_{5}(t)\,\Bigl[\tfrac{1-\cos\bigl(3(t-5)\bigr)}{3} + 2\sin\bigl(3(t-5)\bigr)\Bigr].

Resposta

\boxed{ y(t) = -2\cos(3t) + \frac{4}{3}\sin(3t) + u_{5}(t)\,\Bigl[\tfrac{1-\cos\bigl(3(t-5)\bigr)}{3} + 2\sin\bigl(3(t-5)\bigr)\Bigr]. }

Exercícios relacionados