3 (40 pontos) Resolver o PVI a seguir usando transformadas de Laplace
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
usando transformada de Laplace. Vamos aplicar L em ambos os lados, usar condições iniciais, tratar as transformadas de
e
e depois inverter para obter
.
Passo 2
Tomando transformada de Laplace em
temos
Substituindo
e
, o lado esquerdo vira
No lado direito,
Passo 3
Igualando os dois lados,
Isolando
,
Passo 4
Separamos
em duas partes:
Passo 5
Inversão de
:
Logo a parte sem atraso é
Passo 6
Agora invertendo cada termo com fator
:
- Para
, sabe-se que
logo, pelo teorema do deslocamento,
- Para
, fazemos frações parciais:
cuja inversa é
Aplicando deslocamento,
Passo 7
Somando todas as contribuições, a solução é