2 Faça o que é pedido em cada item:
(a) (10 pontos) Encontre mathcal{L}\left\{\frac{1}{20} t^{5} e^{4 t}-\sqrt{5} \sin (3 t)+2 e^{-t} \cos (2 t)+3 \delta(t-4)+4 u_{2}(t) e^{3 H t-2 t}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace, via linearidade, do sinal
f(t)=\frac{1}{20}\,t^{5}e^{4t}\;-\;\sqrt{5}\,\sin(3t)\;+\;2e^{-t}\cos(2t)\;+\;3\,\delta(t-4)\;+\;4\,u_{2}(t)\,e^{3(t-2)}.
Vamos usar as seguintes fórmulas:
  1. \displaystyle \mathcal{L}\{t^{n}e^{at}\}=\frac{n!}{(s-a)^{\,n+1}}.
  2. \displaystyle \mathcal{L}\{\sin(\omega t)\}=\frac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}}.
  3. \displaystyle \mathcal{L}\{e^{at}\cos(\omega t)\}=\frac{s-a}{(s-a)^{2}+\omega^{2}}.
  4. \displaystyle \mathcal{L}\{\delta(t-a)\}=e^{-a s}.
  5. Para passo de tempo: \displaystyle \mathcal{L}\{u_{a}(t)\,g(t-a)\}=e^{-a s}G(s), onde G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\}.

Passo 2

Aplicando a fórmula de t^{n}e^{at} ao termo \tfrac{1}{20}t^{5}e^{4t}:
\mathcal{L}\bigl\{\tfrac{1}{20}t^{5}e^{4t}\bigr\} =\tfrac{1}{20}\,\frac{5!}{(s-4)^{6}} =\frac{120}{20\,(s-4)^{6}} =\frac{6}{(s-4)^{6}}.

Passo 3

Para -\sqrt{5}\,\sin(3t) usamos \mathcal{L}\{\sin(3t)\}=\tfrac{3}{s^{2}+9}, logo
\mathcal{L}\{-\sqrt{5}\,\sin(3t)\} =-\sqrt{5}\,\frac{3}{s^{2}+9} =-\frac{3\sqrt{5}}{s^{2}+9}.

Passo 4

Para 2e^{-t}\cos(2t) tomamos a=-1 e \omega=2 em \mathcal{L}\{e^{at}\cos(\omega t)\}:
\mathcal{L}\{2e^{-t}\cos(2t)\} =2\;\frac{s-(-1)}{(s+1)^{2}+2^{2}} =\frac{2\,(s+1)}{(s+1)^{2}+4}.

Passo 5

Pela propriedade da delta,
\mathcal{L}\{3\,\delta(t-4)\} =3\,e^{-4s}.

Passo 6

Para o termo com passo em t=2: 4\,u_{2}(t)\,e^{3(t-2)}. Aqui g(\tau)=4e^{3\tau} tem \mathcal{L}\{g(\tau)\}=4\big/(s-3). Logo,
\mathcal{L}\{4\,u_{2}(t)\,e^{3(t-2)}\} =e^{-2s}\;\frac{4}{s-3}.

Resposta

Somando todos os termos, a transformada de Laplace é
\boxed{ \mathcal{L}\{f(t)\} =\frac{6}{(s-4)^{6}} -\frac{3\sqrt{5}}{s^{2}+9} +\frac{2\,(s+1)}{(s+1)^{2}+4} +3\,e^{-4s} +\frac{4\,e^{-2s}}{s-3} }.

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