Questão 5
Ainda não respondida
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Se f(z)=\frac{1}{(z-1)^{2}}, qual é o tipo da singularidade de f em z=1 ?
Escolha uma opção:
Singularidade removível
Singularidade essencial
Polo de ordem 2
Polo simples

Passo 1

O enunciado dá a função
f(z)=\frac{1}{(z-1)^{2}}
e pede para classificar a singularidade em z=1. Vamos usar a teoria de singularidades isoladas:
  • singularidade removível ocorre se a parte principal (termos negativos) da série de Laurent for nula;
  • polo de ordem m ocorre se a parte principal tiver um número finito de termos até (z-z_{0})^{-m};
  • singularidade essencial ocorre se a parte principal tiver infinitos termos negativos.

Passo 2

Escrevendo a série de Laurent de f em torno de z=1, vemos que
f(z)=(z-1)^{-2}
não há outros termos — a parte principal é exatamente um único termo de ordem -2.

Passo 3

Como há um número finito de potências negativas (apenas (z-1)^{-2}), temos um polo. O maior expoente negativo é 2, logo é um polo de ordem 2.

Resposta

Polo de ordem 2

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