1 (40 pontos) A velocidade de uma partícula que se desloca em linha reta é dada por v=\left(c t^{2}-f t\right), onde c=1,54 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{3}, f=3,13 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} e té dado em segundos. A posição em t=0 é x=8,59 \mathrm{~m}. É útil saber que \int_{a}^{b} e t^{n} d t=\left.\frac{e}{n+1} t^{n+1}\right|_{a} ^{b}=\frac{e}{n+1}\left(b^{n+1}-a^{n+1}\right), onde a, b e e são constantes.
(a) Calcule o instante de tempo em que a partícula inverte o sentido do seu movimento.
(b) Calcule o deslocamento cntre a posição inicial o aquela em t=5,32 \mathrm{~s}.
(c) Calcule o instante de tempo em que a aceleração é zero.
(d) Faça um gráfico da aceleração em função do tempo e indique nele como se pode obter a variação da velocidade entre os instantes inicial e o calculado no item anterior.
(a) (A) 3,22 \mathrm{~s}, (B) 5,97 \mathrm{~s}, (C) 4,48 \mathrm{~s}, (D) 2,87 \mathrm{~s}. (E) 3,90 \mathrm{~s}, (F) 2,26 \mathrm{~s}, (G) 2,03 \mathrm{~s}, (H) 5,42 \mathrm{~s}, (I) 1,79 \mathrm{~s}, (J) 2,55 \mathrm{~s},
(b) (A) 45,7 \mathrm{~m}, (B) 11,5 \mathrm{~m}, (C) 99,3 \mathrm{~m}. (D) 9,03 \mathrm{~m}, (E) 76,6 \mathrm{~m}, (F) 28,6 \mathrm{~m}, (G) 17,2 \mathrm{~m}, (H) 33,0 \mathrm{~m}, (I) 13,5 \mathrm{~m}, (J) 56,2 \mathrm{~m}, (K) 236 m, (L) 38,4 \mathrm{~m}, (M) 88.9 m, (N) 127 m, (O) 156 m, § 6,04 \mathrm{~m},
(c) (A) 3.87 \mathrm{~s}, (B) 2,98 \mathrm{~s}, (C) 2,03 \mathrm{~s}, (D) 0,889 \mathrm{~s}, (E) 3,37 \mathrm{~s}, (F) 1,65 \mathrm{~s}, (G) 5,10 \mathrm{~s}, (H) 2,20 \mathrm{~s}, (I) 3,59 \mathrm{~s}, (J) 1,81 \mathrm{~s},
(d) questão aberta, responda na folha amulsa
Passo 1
O enunciado dá a velocidade
v(t)=c\,t^{2}-f\,t
com c=1{,}54\rm\,m/s^{3}, f=3{,}13\rm\,m/s^{2} e pede:
(a) o instante em que v=0 (inversão de sentido);
(b) o deslocamento de t=0 a t=5{,}32\rm\,s;
(c) o instante em que a aceleração se anula;
(d) o gráfico de a(t) e como dele extrair \Delta v entre 0 e o instante de (c).
Para isso vamos usar:
– Resolver v(t)=0 e a(t)=dv/dt=0.
– Calcular \Delta x=\int v(t)\,dt de 0 a 5{,}32.
– Derivar v(t) para obter a(t) e usar interpretação geométrica de área para variação de velocidade.
\Delta x \approx 0{,}5133\,(5{,}32)^{3}-1{,}565\,(5{,}32)^{2} \approx 77{,}35-44{,}32 =33{,}0\rm\,m.
Passo 4
Para (c) calculamos a aceleração
a(t)=\frac{dv}{dt}=2\,c\,t - f,
e impomos a(t)=0:
2\,c\,t - f = 0 \;\Longrightarrow\; t = \frac{f}{2c} = \frac{3{,}13}{2\cdot1{,}54}\approx1{,}02\rm\,s.
Passo 5
Em (d) desenhamos o gráfico de
a(t)=2\,c\,t - f,
que é uma reta de inclinação 2c (positiva) e intercepto -f. Ela corta o eixo t em t=1{,}02\rm\,s.
Para obter a variação de velocidade entre t=0 e t=1{,}02, basta calcular a área algébrica sob essa reta no intervalo [0,\,1{,}02], pois
\Delta v =\int_{0}^{1{,}02}a(t)\,dt =\text{área (com sinal) sob }a(t).á
Resposta
(a) 2{,}03\rm\,s
(b) 33{,}0\rm\,m
(c) 1{,}02\rm\,s
(d) Gráfico de a(t)=2ct-f (reta que corta o eixo t em 1{,}02 s); a variação de velocidade entre 0 e 1{,}02 s é a área sob essa reta nesse intervalo.