4.40 Um resistor coaxial de comprimento
consiste em dois cilindros concêntricos. O cilindro interno tem um raio
e é feito de um material com condutividade
, e o cilindro externo se estende entre
e
, e é feito de um material com condutividade
. Se as duas extremidades do resistor são terminadas com placas condutoras, mostre que a resistência entre as duas extremidades é
.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos um resistor de comprimento
formado por dois cilindros concêntricos. O cilindro interno, de raio
, é de material com condutividade
. O cilindro externo ocupa a região de
até
e tem condutividade
. As faces de
e
são placas condutoras ligadas aos terminais. Para encontrar a resistência total, vamos calcular a condutância de cada parte (cilindro interno e casca externa) e depois combiná-las, pois estão em paralelo.
Passo 2
Calcular a condutância do cilindro interno: sua área da seção reta é
. Como condutância de um material homogêneo é
, temos
Passo 3
Calcular a condutância da casca externa: a área da seção reta é a área do anel entre raios
e
, isto é
. Logo sua condutância é
Passo 4
Como as duas partes conduzem corrente entre as mesmas placas, suas condutâncias somam em paralelo:
A resistência equivalente é o inverso da condutância total, ou seja