4.40 Um resistor coaxial de comprimento l consiste em dois cilindros concêntricos. O cilindro interno tem um raio a e é feito de um material com condutividade \sigma_{1}, e o cilindro externo se estende entre r=a e r=b, e é feito de um material com condutividade \sigma_{2}. Se as duas extremidades do resistor são terminadas com placas condutoras, mostre que a resistência entre as duas extremidades é R=l /\left[\pi\left(\sigma_{1} a^{2}+\sigma_{2}\left(b^{2}-a^{2}\right)\right)\right].

Passo 1

Resumo do enunciado: temos um resistor de comprimento l formado por dois cilindros concêntricos. O cilindro interno, de raio a, é de material com condutividade \sigma_{1}. O cilindro externo ocupa a região de r=a até r=b e tem condutividade \sigma_{2}. As faces de z=0 e z=l são placas condutoras ligadas aos terminais. Para encontrar a resistência total, vamos calcular a condutância de cada parte (cilindro interno e casca externa) e depois combiná-las, pois estão em paralelo.

Passo 2

Calcular a condutância do cilindro interno: sua área da seção reta é \pi a^2. Como condutância de um material homogêneo é \sigma\times(\text{área})/(\text{comprimento})á, temos
G_{1}=\frac{\sigma_{1}\,\pi a^{2}}{l}.

Passo 3

Calcular a condutância da casca externa: a área da seção reta é a área do anel entre raios a e b, isto é \pi(b^{2}-a^{2}). Logo sua condutância é
G_{2}=\frac{\sigma_{2}\,\pi\bigl(b^{2}-a^{2}\bigr)}{l}.

Passo 4

Como as duas partes conduzem corrente entre as mesmas placas, suas condutâncias somam em paralelo:
G_{\text{total}}=G_{1}+G_{2} =\frac{\pi}{l}\bigl(\sigma_{1}a^{2}+\sigma_{2}(b^{2}-a^{2})\bigr).
A resistência equivalente é o inverso da condutância total, ou seja
R=\frac{1}{G_{\text{total}}} =\frac{l}{\pi\bigl(\sigma_{1}a^{2}+\sigma_{2}(b^{2}-a^{2})\bigr)}.

Resposta

R=\frac{l}{\pi\bigl(\sigma_{1}a^{2}+\sigma_{2}(b^{2}-a^{2})\bigr)}.

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