4.45* Uma esfera dielétrica de 2 \mathrm{~cm} \operatorname{com} \varepsilon_{1 \mathrm{r}}=3 está inserida em um meio com \varepsilon_{2 \mathrm{r}}=9. Se \mathbf{E}_{2}= \hat{\mathbf{R}} 3 \cos \theta-\hat{\boldsymbol{\theta}} 3 \operatorname{sen} \theta(\mathrm{~V} / \mathrm{m}) na região em volta, determine \mathbf{E}_{1} e \mathbf{D}_{1} na esfera.

Passo 1

O enunciado envolve uma esfera dielétrica de raio a=2\\ \mathrm{cm} com constante dielétrica relativa \varepsilon_{1r}=3, mergulhada num meio com \varepsilon_{2r}=9. Na região externa à esfera o campo dado é
\mathbf{E}_{2}(r,\theta) =\hat{\mathbf{R}}\,3\cos\theta -\hat{\boldsymbol{\theta}}\,3\sin\theta \quad(\mathrm{V}/\mathrm{m})\,.
O objetivo é achar o campo \mathbf{E}_{1} e o deslocamento elétrico \mathbf{D}_{1} dentro da esfera, usando eletrostática em dielétricos e as condições de contorno na interface.

Passo 2

Note que
\hat{\mathbf{R}}\cos\theta-\hat{\boldsymbol{\theta}}\sin\theta =\hat{\mathbf{z}}
em coordenadas esféricas. Logo
\mathbf{E}_{2}=3\,\hat{\mathbf{z}}
é um campo uniforme de módulo E_{0}=3\\ \mathrm{V/m} apontando em +\hat{\mathbf{z}}.

Passo 3

Pela teoria de potencial para uma esfera dielétrica em campo uniforme no meio, o campo interno \mathbf{E}_{1} é uniforme e dado por
\mathbf{E}_{1} =\frac{3\,\varepsilon_{2}}{\varepsilon_{1}+2\,\varepsilon_{2}}\,\mathbf{E}_{0}\,,
onde \varepsilon_{1}=\varepsilon_{1r}\,\varepsilon_{0} e \varepsilon_{2}=\varepsilon_{2r}\,\varepsilon_{0}.

Passo 4

Substituindo \varepsilon_{1}=3\varepsilon_{0}, \varepsilon_{2}=9\varepsilon_{0} e E_{0}=3:
\frac{3\,\varepsilon_{2}}{\varepsilon_{1}+2\,\varepsilon_{2}} =\frac{3\,(9\varepsilon_{0})}{3\varepsilon_{0}+2\,(9\varepsilon_{0})} =\frac{27}{3+18} =\frac{27}{21} =\frac{9}{7}\,.
Logo
\mathbf{E}_{1} =\frac{9}{7}\,E_{0}\,\hat{\mathbf{z}} =\frac{9}{7}\cdot3\, \hat{\mathbf{z}} =\frac{27}{7}\,\hat{\mathbf{z}}.
Em coordenadas esféricas,
\mathbf{E}_{1} =\frac{27}{7}\bigl(\cos\theta\,\hat{\mathbf{R}} -\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\theta}}\bigr) \quad(\mathrm{V}/\mathrm{m})\,.

Passo 5

O deslocamento elétrico dentro da esfera é
\mathbf{D}_{1} =\varepsilon_{1}\,\mathbf{E}_{1} =3\varepsilon_{0}\,\mathbf{E}_{1} =3\varepsilon_{0}\,\frac{27}{7} \bigl(\cos\theta\,\hat{\mathbf{R}} -\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\theta}}\bigr) =\frac{81\,\varepsilon_{0}}{7} \bigl(\cos\theta\,\hat{\mathbf{R}} -\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\theta}}\bigr) \quad(\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2})\,.

Resposta

\displaystyle \mathbf{E}_{1} =\frac{27}{7}\bigl(\cos\theta\,\hat{\mathbf{R}} -\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\theta}}\bigr)\\ (\mathrm{V}/\mathrm{m}),
\displaystyle \mathbf{D}_{1} =\frac{81\,\varepsilon_{0}}{7} \bigl(\cos\theta\,\hat{\mathbf{R}} -\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\theta}}\bigr)\\ (\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}).

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