(40 %) Seja Omega a região de R^3 definida por
Omega=(x, y, z) mid x^2+y^2+z^2 <= a^2, x <= 0, y >= 0, z >= 0
sendo a um valor real positivo. Determinar o valor da integral tripla
integral triplaOmega d x d y d z1+x^2+y^2+z^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma integral tripla para resolver sobre uma região específica no espaço tridimensional. A região Omega é definida por todos os pontos (x, y, z) que satisfazem as condições:
x^2 + y^2 + z^2 <= a^2, x <= 0, y >= 0, z >= 0
Isso significa que estamos trabalhando dentro de uma esfera de raio a, mas só na parte onde x é negativo, y e z são positivos. Para resolver a integral
integral triplaOmega dx, dy, dz1 + x^2 + y^2 + z^2,
vamos precisar usar coordenadas esféricas para simplificar os cálculos, já que a região é uma parte de uma esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a mudança para coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, as coordenadas (x, y, z) são expressas como:
x = r sinphi costheta, y = r sinphi sintheta, z = r cosphi,
onde:
  • r é a distância do ponto até a origem,
  • phi é o ângulo polar (entre o eixo positivo z e o vetor posição),
  • theta é o ângulo azimutal (no plano xy a partir do eixo positivo x).
O elemento de volume dV em coordenadas esféricas é dado por:
dV = r^2 sinphi, dr, dphi, dtheta

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração para r, phi e theta de acordo com a região Omega.
  1. Para r: Já que estamos dentro de uma esfera de raio a, r varia de 0 a a.
  2. Para phi: Como z >= 0, o ângulo phi varia de 0 (eixo positivo z) até pi2 (plano xy).
  3. Para theta: Temos x <= 0 e y >= 0.
    • x <= 0 implica que o ângulo theta está entre pi2 e 3pi2.
    • y >= 0 implica que theta está entre 0 e pi.
      Portanto, a interseção desses intervalos é theta de pi2 a pi.

Passo 4

Vamos reescrever a integral original em coordenadas esféricas usando os limites que determinamos:
integral triplaOmega dx, dy, dz1 + x^2 + y^2 + z^2 = integraltheta=pi2^pi integralphi=0^pi2 integralr=0^a r^2 sinphi, dr, dphi, dtheta1 + r^2
Aqui, substituímos x^2 + y^2 + z^2 por r^2 na expressão da integral.

Passo 5

Vamos resolver a integral começando por r:
integral0^a r^21 + r^2 dr
Podemos simplificar essa fração:
r^21 + r^2 = 1 - 11 + r^2
Então, a integral se torna:
integral0^a (1 - 11 + r^2) dr = integral0^a 1, dr - integral0^a 11 + r^2 dr
Resolvendo cada parte:
integral0^a 1, dr = a,
integral0^a 11 + r^2 dr = tan^-1(r) |0^a = tan^-1(a) - 0 = tan^-1(a)
Portanto:
integral0^a r^21 + r^2 dr = a - tan^-1(a)

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral em r de volta na expressão original:
integralpi2^pi integral0^pi2 (a - tan^-1(a)) sinphi, dphi, dtheta
Note que a - tan^-1(a) é constante em relação a phi e theta, então podemos tirar fora das integrais:
(a - tan^-1(a)) integralpi2^pi integral0^pi2 sinphi, dphi, dtheta

Passo 7

Vamos resolver a integral em phi:
integral0^pi2 sinphi, dphi = -cosphi |0^pi2 = -cos(pi2) + cos(0) = -0 + 1 = 1
Agora, a integral restante é:
(a - tan^-1(a)) integralpi2^pi 1, dtheta
Resolvendo a integral em theta:
integralpi2^pi 1, dtheta = pi - pi2 = pi2

Resposta

Multiplicando tudo, temos:
(a - tan^-1(a)) times pi2 = pi2 (a - tan^-1(a))
Portanto, o valor da integral tripla é:
pi2 (a - tan^-1(a))

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