sendo um valor real positivo. Determinar o valor da integral tripla
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma integral tripla para resolver sobre uma região específica no espaço tridimensional. A região é definida por todos os pontos que satisfazem as condições:
Isso significa que estamos trabalhando dentro de uma esfera de raio , mas só na parte onde é negativo, e são positivos. Para resolver a integral
vamos precisar usar coordenadas esféricas para simplificar os cálculos, já que a região é uma parte de uma esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a mudança para coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, as coordenadas são expressas como:
onde:
é a distância do ponto até a origem,
é o ângulo polar (entre o eixo positivo e o vetor posição),
é o ângulo azimutal (no plano a partir do eixo positivo ).
O elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites de integração para , e de acordo com a região .
Para : Já que estamos dentro de uma esfera de raio , varia de a .
Para : Como , o ângulo varia de (eixo positivo ) até (plano ).
Para : Temos e .
implica que o ângulo está entre e .
implica que está entre e .
Portanto, a interseção desses intervalos é de a .
Passo 4
Vamos reescrever a integral original em coordenadas esféricas usando os limites que determinamos:
Aqui, substituímos por na expressão da integral.
Passo 5
Vamos resolver a integral começando por :
Podemos simplificar essa fração:
Então, a integral se torna:
Resolvendo cada parte:
Portanto:
integral0^a r^21 + r^2 dr = a - tan^-1(a)
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integral em r de volta na expressão original:
integralpi2^pi integral0^pi2 (a - tan^-1(a)) sinphi, dphi, dtheta
Note que a - tan^-1(a) é constante em relação a phi e theta, então podemos tirar fora das integrais:
(a - tan^-1(a)) integralpi2^pi integral0^pi2 sinphi, dphi, dtheta