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Seja uma transformação linear dada pela matriz .
(a) T é injetora? Justifique. Caso T não seja injetora, determine um elemento não nulo no espaço nulo da matriz A.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma transformação linear representada pela matriz . A questão pergunta se é injetora. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre transformações lineares, injeção e espaço nulo. Vamos verificar se a transformação não “espreme” diferentes vetores em um único vetor no espaço de chegada, ou seja, se a única solução para é o vetor nulo.
Passo 2
Uma transformação linear A = 2 & 3 & 1 3 & 5 & 1 -2 & -4 & 0 é injetora se e somente se o único vetor no espaço nulo de det(A) = 2 cdot (5 cdot 0 - 1 cdot (-4)) - 3 cdot (3 cdot 0 - 1 cdot (-2)) + 1 cdot (3 cdot (-4) - 5 cdot (-2)) for o vetor zero. Para verificar isso, vamos calcular o determinante da matriz det(A) = 2 cdot (0 + 4) - 3 cdot (0 + 2) + 1 cdot (-12 + 10) . Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível e det(A) = 8 - 6 - 2 = 0 é injetora.
A matriz é:
Vamos calcular o determinante de :
Como o determinante de é zero, a matriz não é inversível. Isso significa que a transformação não é injetora.
Passo 3
Como 2x1 + 3x2 + x3 = 0 3x1 + 5x2 + x3 = 0 -2x1 - 4x2 = 0 não é injetora, existe pelo menos um vetor não nulo no espaço nulo de -2x1 - 4x2 = 0 Rightarrow x1 = -2x2 . Vamos encontrar esse vetor.
Resolvemos o sistema 2(-2s) + 3s + t = 0 Rightarrow -4s + 3s + t = 0 Rightarrow -s + t = 0 Rightarrow t = s :
x = -2s s s = s cdot -2 1 1
A partir da terceira equação:
x = -2 1 1
Vamos chamar e . Substituindo na primeira equação:
Portanto, as soluções são da forma:
Escolhendo , temos um vetor não nulo no espaço nulo:
Resposta
A transformação -2 1 1 não é injetora. Um vetor não nulo no espaço nulo de é .