Uma matriz X possui elementos cuja soma vale 1. Se X cdot[cc1 & -1 -1 & 1] cdot X^T=[1] onde X^T é a transposta de X , calcule o produto dos elementos de X.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz X cdot 1 & -1 -1 & 1 cdot X^T = [1] cujos elementos somam 1. Além disso, sabemos que:
Aqui, é a transposta de . Nosso objetivo é descobrir o produto dos elementos de . Para resolver isso, vamos precisar entender como multiplicar matrizes e trabalhar com transpostas. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o formato da matriz X = [a b] . Como estamos multiplicando a + b = 1 por uma matriz 2x2 e depois por , deve ser uma matriz 1x2. Vamos chamar os elementos de de e , então:
E sabemos que:
Esse é o primeiro dado importante que vamos usar.

Passo 3

Agora, vamos multiplicar X cdot 1 & -1 -1 & 1 pela matriz dada:
[a b] cdot 1 & -1 -1 & 1 = [a cdot 1 + b cdot (-1) a cdot (-1) + b cdot 1] = [a - b -a + b]
Fazendo a multiplicação:

Passo 4

Agora, vamos multiplicar o resultado pela transposta de X^T = a b , que é:
[a - b -a + b] cdot a b = (a - b) cdot a + (-a + b) cdot b = a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 + b^2 - 2ab
Então:
a^2 + b^2 - 2ab = 1
Sabemos que esse resultado é igual a 1:

Passo 5

Vamos lembrar que (a + b)^2 = 1^2 Rightarrow a^2 + 2ab + b^2 = 1 . Vamos elevar ambos os lados dessa equação ao quadrado:
Agora, temos duas equações:

Passo 6

Vamos subtrair a primeira equação da segunda:
(a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 + b^2 - 2ab) = 1 - 1
Simplificando:
4ab = 0 Rightarrow ab = 0

Resposta

O produto dos elementos de é .

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