Nos ítens abaixo, determine se o conjunto dado é um subespaço de Pn (conjunto dos polinômios com grau igual ou menor do que n ) para um valor apropriado de n. Justifique suas respostas:
b) Todos os polinômios de grau no máximo 3, com coeficientes inteiros.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 3, com coeficientes inteiros, é um subespaço de Pn. Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são as condições que ele deve cumprir dentro do espaço de polinômios Pn.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de um espaço vetorial precisa satisfazer três condições principais:
  1. Contém o vetor zero: No nosso caso, o vetor zero seria o polinômio nulo, aquele onde todos os coeficientes são zero.
  2. Fechado sob adição: Se você pegar dois polinômios do conjunto, a soma deles também deve estar no conjunto.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar um polinômio do conjunto por qualquer número escalar (como um número real), o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto dado.

Passo 3

1. Contém o vetor zero:
O polinômio nulo, que é 0 + 0x + 0x^2 + 0x^3, tem todos os coeficientes inteiros (no caso, zero). Então, ele está no conjunto. Essa condição está satisfeita.
2. Fechado sob adição:
Vamos pegar dois polinômios quaisquer do conjunto. Por exemplo:
P(x) = a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3 Q(x) = b0 + b1x + b2x^2 + b3x^3
onde ai e bi são números inteiros. A soma deles é:
P(x) + Q(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + (a2 + b2)x^2 + (a3 + b3)x^3
Como a soma de inteiros é um inteiro, todos os coeficientes de P(x) + Q(x) também são inteiros. Portanto, o conjunto é fechado sob adição.
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Aqui está onde ocorre um problema. Vamos pegar um polinômio do conjunto, por exemplo:
P(x) = a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3
e multiplicá-lo por um escalar real, digamos c. O resultado é:
c cdot P(x) = c a0 + c a1x + c a2x^2 + c a3x^3
Para o conjunto ser fechado sob multiplicação por escalar, todos os coeficientes de c cdot P(x) deveriam ser inteiros. Porém, se c não for um número inteiro, os coeficientes podem não ser inteiros. Por exemplo, se c = 12 e a0 = 2, então c a0 = 1, que ainda é inteiro. Mas se a0 = 1, então c a0 = 12, que não é inteiro. Isso mostra que o conjunto não é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

O conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 3, com coeficientes inteiros, não é um subespaço de Pn, porque não é fechado sob multiplicação por escalar.

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