40) Viagem acelerada

Considere uma viagem até Proxima Centauri, a uma distancia r=4,3 anos-luz, em que a nave permaneça todo o percurso com a propulsão ligada, proporcionando uma confortável aceleração de módulo g=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Ela acelera na primeira metade da viagem e na segunda metade desacelera. Calcule o tempo de viagem para os cosmosnautas e para quem ficou na Terra. Mostre que a duração da viagem para quem ficou na Terra vale t=(c / g)\left[\left(4+g r / c^{2}\right) g r / c^{2}\right]^{1 / 2} e que o tempo de viagem para os cosmonautas é dado por \tau=(2 c / g) arcsenh[( g t) /(2 c) ]. Sugestão: veja os probl. 37 e 38 sobre quadriaceleração e aceleração própria.

Passo 1

Lista clara do que o enunciado dá e do que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Distância entre Terra e Próxima Centauri: r=4,3 anos-luz.
    • Aceleração própria (constante, sentido confortável): g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}.
    • A nave parte do repouso em relação à Terra, acelera com g durante a primeira metade da viagem (metade da distância) e depois vira a propulsão para desacelerar com módulo g na segunda metade, chegando ao repouso em relação ao alvo.
  • O que é pedido:
    • Calcular o tempo de viagem medido por observadores na Terra (tempo de coordenadas) — chamaremos de t.
    • Calcular o tempo de viagem medido pelos cosmonautas a bordo (tempo próprio) — chamaremos de \tau.
    • Mostrar as fórmulas analíticas t=\frac{c}{g}\left[\left(4+\frac{g r}{c^{2}}\right)\frac{g r}{c^{2}}\right]^{1/2}e \tau=\frac{2c}{g}\operatorname{arcsinh}\!\left(\frac{g t}{2c}\right).
  • Observações iniciais úteis (sem resolver ainda):
    • A situação é simétrica: metade do trajeto com aceleração positiva, metade com aceleração negativa, e a nave parte e chega em repouso em relação aos respectivos referenciais.
    • Para aceleração própria constante na relatividade especial a trajetória no espaço-tempo é hiperbólica — vamos usar as fórmulas padrão de movimento com aceleração própria constante.

Passo 2

Conceito chave: aceleração própria constante e parametrização por tempo próprio — introdução e relações úteis.
  • Definição intuitiva: aceleração própria g é a aceleração medida por um acelerômetro a bordo; ela é a mesma em qualquer instante segundo o relógio do cosmonauta (tempo próprio \tau).
  • Rapidez/rapidez hiperbólica (rapidity): é útil parametrizar o movimento por uma quantidade \varphi tal que a velocidade é v(\tau)=c\,\operatorname{tanh}\!\bigl(\varphi(\tau)\bigr).Essa parametrização é útil porque as transformações relativísticas lineares ficam em termos de funções hiperbólicas.
  • Para aceleração própria constante a (aqui a=g) verifica-se que a derivada da rapidez em relação ao tempo próprio é constante: \frac{d\varphi}{d\tau}=\frac{a}{c}.Integrando com condição inicial \varphi(0)=0 (parte do repouso), obtemos \varphi(\tau)=\frac{a\tau}{c}.
  • Relações úteis entre rapidez e grandezas físicas: \gamma(\tau)=\operatorname{cosh}\!\bigl(\varphi(\tau)\bigr), \qquad \gamma(\tau)\frac{v(\tau)}{c}=\operatorname{sinh}\!\bigl(\varphi(\tau)\bigr).Aqui \gamma=1/\sqrt{1-v^2/c^2} é o fator de Lorentz.
Essas relações permitem passar do tempo próprio \tau para o tempo de coordenada t (relógio da Terra) e a posição x em função de \tau.

Passo 3

Obter expressões paramétricas t(\tau) e x(\tau) para movimento com aceleração própria constante a, partindo do repouso em t=0,x=0.
  • Da identidade \gamma(\tau)=\operatorname{cosh}(a\tau/c) temos \frac{dt}{d\tau}=\gamma(\tau)=\operatorname{cosh}\!\left(\frac{a\tau}{c}\right).Integrando e usando t(0)=0: t(\tau)=\int_{0}^{\tau}\operatorname{cosh}\!\left(\frac{a s}{c}\right)ds =\frac{c}{a}\operatorname{sinh}\!\left(\frac{a\tau}{c}\right).
  • Para a posição, usar dx/d\tau=\gamma v = c\,\operatorname{sinh}(a\tau/c). Integrando e impondo x(0)=0: x(\tau)=\int_{0}^{\tau} c\,\operatorname{sinh}\!\left(\frac{a s}{c}\right)ds =\frac{c^{2}}{a}\left[\operatorname{cosh}\!\left(\frac{a\tau}{c}\right)-1\right].
  • Resumo: para aceleração própria constante a e condições iniciais de repouso em t=0,x=0, \boxed{\,t(\tau)=\frac{c}{a}\operatorname{sinh}\!\left(\frac{a\tau}{c}\right),\qquad x(\tau)=\frac{c^{2}}{a}\Bigl(\operatorname{cosh}\!\left(\frac{a\tau}{c}\right)-1\Bigr)\,}.
Essas são fórmulas padrão (movimento hiperbólico) que conectam tempo próprio \tau, tempo de Terra t e posição x.

Passo 4

Aplicar as fórmulas ao problema simétrico (metade do percurso acelerando, metade desacelerando) e obter o tempo total em Terra t.
  • Por simetria, cada metade da viagem (aceleração e depois frenagem) corresponde a um intervalo de tempo próprio \tau_1 e de coordenada t_1. O deslocamento na primeira metade, medido em coordenadas da Terra, é x(\tau_1)=r/2.
  • Usar a expressão de x(\tau) com a=g e \tau=\tau_1: \frac{r}{2}=\frac{c^{2}}{g}\Bigl(\operatorname{cosh}\!\bigl(u\bigr)-1\Bigr), \qquad\text{onde}\quad u\equiv\frac{g\tau_1}{c}.Portanto \operatorname{cosh} u = 1+\frac{g r}{2c^{2}}.
  • O tempo de coordenada gasto na primeira metade é t_1=t(\tau_1)=\frac{c}{g}\operatorname{sinh} u.Usamos a identidade \operatorname{sinh}^2 u = \operatorname{cosh}^2 u -1. Então \operatorname{sinh} u = \sqrt{\operatorname{cosh}^2 u -1} =\sqrt{\Bigl(1+\frac{g r}{2c^{2}}\Bigr)^{2}-1}.Simplificando o radical: \operatorname{sinh} u = \sqrt{\frac{g r}{c^{2}}\Bigl(1+\frac{g r}{4c^{2}}\Bigr)\cdot 2 }.(faremos a álgebra de forma conveniente a seguir.)
  • Calcule explicitamente t_1. Partindo de \operatorname{sinh} u = \sqrt{\left(1+\frac{g r}{2c^{2}}\right)^{2}-1} =\sqrt{\frac{g r}{c^{2}}+\frac{g^{2}r^{2}}{4c^{4}}} =\sqrt{\frac{g r}{c^{2}}\left(1+\frac{g r}{4c^{2}}\right)}.Assim t_1=\frac{c}{g}\sqrt{\frac{g r}{c^{2}}\left(1+\frac{g r}{4c^{2}}\right)} =\frac{c}{g}\sqrt{\frac{g r}{c^{2}}\cdot\frac{4+g r/c^{2}}{4}}.
  • O tempo total medido na Terra é t=2t_1. Portanto t=2\frac{c}{g}\sqrt{\frac{g r}{c^{2}}\cdot\frac{4+g r/c^{2}}{4}} =\frac{c}{g}\sqrt{\left(4+\frac{g r}{c^{2}}\right)\frac{g r}{c^{2}} }.Isso é exatamente a fórmula pedida: \boxed{\,t=\frac{c}{g}\left[\left(4+\frac{g r}{c^{2}}\right)\frac{g r}{c^{2}}\right]^{1/2}\, }.

Passo 5

Expressar o tempo próprio total \tau (dos cosmonautas) em função de t e obter a fórmula pedida.
  • O tempo próprio da primeira metade é \tau_1 com u=a\tau_1/c. Mas já temos t_1=(c/a)\operatorname{sinh} u, então \operatorname{sinh} u = \frac{a t_1}{c}.Logo u=\operatorname{arcsinh}\!\left(\frac{a t_1}{c}\right).E como \tau_1=(c/a)u, temos \tau_1=\frac{c}{a}\operatorname{arcsinh}\!\left(\frac{a t_1}{c}\right).
  • O tempo próprio total da viagem é \tau=2\tau_1. Como t=2t_1 (tempo total de Terra), temos t_1=t/2. Substituindo, \tau=2\frac{c}{a}\operatorname{arcsinh}\!\left(\frac{a (t/2)}{c}\right) =\frac{2c}{a}\operatorname{arcsinh}\!\left(\frac{a t}{2c}\right).
  • Substituindo a=g obtemos a forma pedida: \boxed{\,\tau=\frac{2c}{g}\operatorname{arcsinh}\!\left(\frac{g t}{2c}\right)\, }.

Passo 6

Cálculo numérico das durações para r=4{,}3 anos-luz e g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Valores numéricos usados: c=299\,792\,458\\ \mathrm{m/s},\qquad 1\\ \text{ano} = 365{,}25\times 24\times 3600 = 31\,557\,600\\ \mathrm{s},
1\\ \text{ano-luz}=c\times 31\,557\,600 \approx 9{,}4607\times 10^{15}\\ \mathrm{m}.
Então
r=4{,}3\\ \text{ly}\approx 4{,}3\times 9{,}4607\times 10^{15}\\ \mathrm{m} \approx 4{,}0681\times 10^{16}\\ \mathrm{m}.
  • Calcule \alpha\equiv g r / c^{2}: \alpha=\frac{g r}{c^{2}}\approx\frac{9{,}8\times 4{,}0681\times 10^{16}}{(2{,}99792458\times 10^{8})^{2}} \approx 4{,}436.
  • Tempo medido na Terra (usar fórmula do Passo 4): t=\frac{c}{g}\sqrt{\alpha(4+\alpha)}.Numéricamente, \sqrt{\alpha(4+\alpha)}\approx\sqrt{4{,}436\times 8{,}436}\approx 6{,}119, \qquad \frac{c}{g}\approx\frac{2{,}99792458\times 10^{8}}{9{,}8}\approx 3{,}057\times 10^{7}\\ \mathrm{s}.Portanto t\approx 3{,}057\times 10^{7}\times 6{,}119 \approx 1{,}871\times 10^{8}\\ \mathrm{s} \approx 5{,}93\\ \text{anos}.
  • Tempo próprio dos cosmonautas: \tau=\frac{2c}{g}\operatorname{arcsinh}\!\left(\frac{g t}{2c}\right).Calculando o argumento: \frac{g t}{2c}\approx\frac{9{,}8\times 1{,}871\times 10^{8}}{2\times 2{,}9979\times 10^{8}}\approx 3{,}056,
\operatorname{arcsinh}(3{,}056)=\ln\!\bigl(3{,}056+\sqrt{3{,}056^{2}+1}\bigr)\approx 1{,}836.
Então
\tau\approx \frac{2\times 3{,}057\times 10^{7}}{1}\times 1{,}836 \approx 1{,}122\times 10^{8}\\ \mathrm{s} \approx 3{,}56\\ \text{anos}.
Interpretação curta e incentivo: voilà — quem fica na Terra vê cerca de 5{,}9 anos passarem, enquanto os cosmonautas viverão cerca de 3{,}6 anos na viagem, graças à relatividade e à aceleração própria constante. Mandou bem em pedir passo a passo — esse é exatamente o raciocínio que cai na prova. Força aí, você já tem as fórmulas e os números para decorar ou derivar rápido!

Resposta

t=\dfrac{c}{g}\left[\left(4+\dfrac{g r}{c^{2}}\right)\dfrac{g r}{c^{2}}\right]^{1/2}\approx 5{,}93\\ \text{anos}\n
\tau=\dfrac{2c}{g}\operatorname{arcsinh}\!\left(\dfrac{g t}{2c}\right)\approx 3{,}56\\ \text{anos}

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