40) Viagem acelerada
Considere uma viagem até Proxima Centauri, a uma distancia
anos-luz, em que a nave permaneça todo o percurso com a propulsão ligada, proporcionando uma confortável aceleração de módulo
. Ela acelera na primeira metade da viagem e na segunda metade desacelera. Calcule o tempo de viagem para os cosmosnautas e para quem ficou na Terra. Mostre que a duração da viagem para quem ficou na Terra vale
e que o tempo de viagem para os cosmonautas é dado por
arcsenh[(
]. Sugestão: veja os probl. 37 e 38 sobre quadriaceleração e aceleração própria.
Passo 1
Lista clara do que o enunciado dá e do que pede.
- Dados fornecidos:
- Distância entre Terra e Próxima Centauri:
anos-luz. - Aceleração própria (constante, sentido confortável):
. - A nave parte do repouso em relação à Terra, acelera com
durante a primeira metade da viagem (metade da distância) e depois vira a propulsão para desacelerar com módulo na segunda metade, chegando ao repouso em relação ao alvo.
- Distância entre Terra e Próxima Centauri:
- O que é pedido:
- Calcular o tempo de viagem medido por observadores na Terra (tempo de coordenadas) — chamaremos de
. - Calcular o tempo de viagem medido pelos cosmonautas a bordo (tempo próprio) — chamaremos de
. - Mostrar as fórmulas analíticas
e
- Calcular o tempo de viagem medido por observadores na Terra (tempo de coordenadas) — chamaremos de
- Observações iniciais úteis (sem resolver ainda):
- A situação é simétrica: metade do trajeto com aceleração positiva, metade com aceleração negativa, e a nave parte e chega em repouso em relação aos respectivos referenciais.
- Para aceleração própria constante na relatividade especial a trajetória no espaço-tempo é hiperbólica — vamos usar as fórmulas padrão de movimento com aceleração própria constante.
Passo 2
Conceito chave: aceleração própria constante e parametrização por tempo próprio — introdução e relações úteis.
- Definição intuitiva: aceleração própria
é a aceleração medida por um acelerômetro a bordo; ela é a mesma em qualquer instante segundo o relógio do cosmonauta (tempo próprio ). - Rapidez/rapidez hiperbólica (rapidity): é útil parametrizar o movimento por uma quantidade
tal que a velocidade é Essa parametrização é útil porque as transformações relativísticas lineares ficam em termos de funções hiperbólicas. - Para aceleração própria constante
(aqui ) verifica-se que a derivada da rapidez em relação ao tempo próprio é constante: Integrando com condição inicial (parte do repouso), obtemos - Relações úteis entre rapidez e grandezas físicas:
Aqui é o fator de Lorentz.
Essas relações permitem passar do tempo próprio
para o tempo de coordenada
(relógio da Terra) e a posição
em função de
.
Passo 3
Obter expressões paramétricas
e
para movimento com aceleração própria constante
, partindo do repouso em
.
- Da identidade
temos Integrando e usando : - Para a posição, usar
. Integrando e impondo : - Resumo: para aceleração própria constante
e condições iniciais de repouso em ,
Essas são fórmulas padrão (movimento hiperbólico) que conectam tempo próprio
, tempo de Terra
e posição
.
Passo 4
Aplicar as fórmulas ao problema simétrico (metade do percurso acelerando, metade desacelerando) e obter o tempo total em Terra
.
- Por simetria, cada metade da viagem (aceleração e depois frenagem) corresponde a um intervalo de tempo próprio
e de coordenada . O deslocamento na primeira metade, medido em coordenadas da Terra, é . - Usar a expressão de
com e : Portanto - O tempo de coordenada gasto na primeira metade é
Usamos a identidade . Então Simplificando o radical: (faremos a álgebra de forma conveniente a seguir.) - Calcule explicitamente
. Partindo de Assim - O tempo total medido na Terra é
. Portanto Isso é exatamente a fórmula pedida:
Passo 5
Expressar o tempo próprio total
(dos cosmonautas) em função de
e obter a fórmula pedida.
- O tempo próprio da primeira metade é
com . Mas já temos , então Logo E como , temos - O tempo próprio total da viagem é
. Como (tempo total de Terra), temos . Substituindo, - Substituindo
obtemos a forma pedida:
Passo 6
Cálculo numérico das durações para
anos-luz e
.
- Valores numéricos usados:
Então
- Calcule
: - Tempo medido na Terra (usar fórmula do Passo 4):
Numéricamente, Portanto - Tempo próprio dos cosmonautas:
Calculando o argumento:
Então
Interpretação curta e incentivo: voilà — quem fica na Terra vê cerca de
anos passarem, enquanto os cosmonautas viverão cerca de
anos na viagem, graças à relatividade e à aceleração própria constante. Mandou bem em pedir passo a passo — esse é exatamente o raciocínio que cai na prova. Força aí, você já tem as fórmulas e os números para decorar ou derivar rápido!