6.40 y^prime+y=y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial $ y’ + y = y^2 $. Esse exercício está relacionado ao estudo de Equações Diferenciais de Primeira Ordem, especificamente as Equações de Bernoulli. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a resolução:
y' + y = y^2
Podemos reorganizar isso para:
y' = y^2 - y

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis $ y $ e $ x $. Isso significa colocar todos os termos com $ y $ de um lado e os termos com $ x $ do outro lado:
y
Reescrevendo:
x

Passo 4

Vamos resolver a integral do lado esquerdo. Para isso, fazemos uma decomposição em frações parciais:
1y(y - 1) = Ay + By - 1
Multiplicando ambos os lados por $ y(y - 1) $:
y(y - 1)
Resolvendo para $ A $ e $ B $:
Quando $ y = 1 $:
1 = A(y - 1) + By
Quando $ y = 0 $:
A
Então:
B

Passo 5

Agora, fazemos a integração de ambos os lados:
integral ( -1y + 1y - 1 ) dy = integral dx
Integração:
- ln|y| + ln|y - 1| = x + C
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:
ln|y - 1| - ln|y| = x + C
Usando propriedades dos logaritmos:
ln|y - 1y| = x + C
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
y - 1y = e^x + C
Podemos simplificar $ e^{x + C} $ como $ C e^{x} $, já que $ e^{C} $ é apenas outra constante:
e^x + C

Passo 7

Resolvendo para $ y $:
y
y - 1 = C e^x y
y - C e^x y = 1
y (1 - C e^x) = 1

Resposta

A solução geral da equação diferencial $ y’ + y = y^2 $ é:
y' + y = y^2
onde $ C $ é uma constante arbitrária determinada pelas condições iniciais.

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