Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial $ y’ + y = y^2 $. Esse exercício está relacionado ao estudo de Equações Diferenciais de Primeira Ordem, especificamente as Equações de Bernoulli. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a resolução:
Podemos reorganizar isso para:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis $ y $ e $ x $. Isso significa colocar todos os termos com $ y $ de um lado e os termos com $ x $ do outro lado:
Reescrevendo:
Passo 4
Vamos resolver a integral do lado esquerdo. Para isso, fazemos uma decomposição em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por $ y(y - 1) $:
Resolvendo para $ A $ e $ B $:
Quando $ y = 1 $:
Quando $ y = 0 $:
Então:
Passo 5
Agora, fazemos a integração de ambos os lados:
Integração:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 6
Vamos simplificar a expressão:
Usando propriedades dos logaritmos:
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Podemos simplificar $ e^{x + C} $ como $ C e^{x} $, já que $ e^{C} $ é apenas outra constante:
Passo 7
Resolvendo para $ y $:
Resposta
A solução geral da equação diferencial $ y’ + y = y^2 $ é:
onde $ C $ é uma constante arbitrária determinada pelas condições iniciais.