Nos problemas 1-32, encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
x d yd x+(3 x+1) y=e^-3 x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem não-homogênea
x dy/dx + (3x+1)y = e^{-3x}. O conteúdo usado aqui é o método do fator integrante para equações lineares do tipo y’ + P(x)y = Q(x).

Passo 2

Dividindo ambos os lados por x (supondo x≠0) para ficar na forma padrão y’ + P(x)y = Q(x), temos:
dydx + l(3 + 1xr)y = e^-3xx

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(x) = e^integral P(x),dx. Aqui P(x)=3+1/x, logo:
mu(x) = expl(integral (3 + tfrac1x),dxr) = exp(3x + ln|x|) = x e^3x

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(x). O lado esquerdo vira a derivada de mu(x)y:
ddxl(x e^3xyr) = x e^3xcdot e^-3xx = 1
Integrando em relação a x:
x e^3xy = integral 1,dx = x + C

Passo 5

Isolando y, obtemos:
y = x + Cx e^-3x = e^-3x + C e^-3xx

Resposta

y = e^-3x + dfracCxe^-3x

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