Nos problemas 1-32, encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem não-homogênea
x dy/dx + (3x+1)y = e^{-3x}. O conteúdo usado aqui é o método do fator integrante para equações lineares do tipo y’ + P(x)y = Q(x).
x dy/dx + (3x+1)y = e^{-3x}. O conteúdo usado aqui é o método do fator integrante para equações lineares do tipo y’ + P(x)y = Q(x).
Passo 2
Dividindo ambos os lados por x (supondo x≠0) para ficar na forma padrão y’ + P(x)y = Q(x), temos:
Passo 3
Calculamos o fator integrante
. Aqui
, logo:
Passo 4
Multiplicamos a equação padrão por
. O lado esquerdo vira a derivada de
:
Integrando em relação a x:
Passo 5
Isolando y, obtemos: