Determine e classifique os pontos críticos da função
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver o exercício que pede para determinar e classificar os pontos críticos da função
Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e o teste da segunda derivada para classificar os pontos críticos. Precisamos encontrar onde as derivadas parciais em relação a
e
são zero e depois analisar a natureza desses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos achar as derivadas parciais de
em relação a
e
.
A derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os pontos
onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero.
Primeiro, resolvemos
:
Em seguida, resolvemos
:
Então, os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Agora que temos os pontos críticos, vamos classificá-los usando o teste da segunda derivada. Para isso, precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
O discriminante
é dado por:
Vamos calcular
para cada ponto crítico.
Passo 5
Primeiro, para o ponto
:
Como
e
, esse ponto é um mínimo local.
Passo 6
Agora, para o ponto
:
Como
, esse ponto é um ponto de sela.
Resposta
Os pontos críticos da função são
, que é um mínimo local, e
, que é um ponto de sela.