Determine e classifique os pontos críticos da função
f(x, y)=x^4+4 y^33-32 x-4 y-1

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver o exercício que pede para determinar e classificar os pontos críticos da função
f(x, y) = x^4 + 4 y^33 - 32 x - 4 y - 1
Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e o teste da segunda derivada para classificar os pontos críticos. Precisamos encontrar onde as derivadas parciais em relação a x e y são zero e depois analisar a natureza desses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos achar as derivadas parciais de f(x, y) em relação a x e y.
A derivada parcial em relação a x é:
fx = partial fpartial x = 4x^3 - 32
E a derivada parcial em relação a y é:
fy = partial fpartial y = 4y^2 - 4

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os pontos (x, y) onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero.
Primeiro, resolvemos fx = 0:
4x^3 - 32 = 0 4x^3 = 32 x^3 = 8 x = 2
Em seguida, resolvemos fy = 0:
4y^2 - 4 = 0 4y^2 = 4 y^2 = 1 y = pm 1
Então, os pontos críticos são (2, 1) e (2, -1).

Passo 4

Agora que temos os pontos críticos, vamos classificá-los usando o teste da segunda derivada. Para isso, precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = 12x^2
fyy = partial^2 fpartial y^2 = 8y
fxy = partial^2 fpartial x partial y = 0
O discriminante D é dado por:
D = fxx cdot fyy - (fxy)^2
Vamos calcular D para cada ponto crítico.

Passo 5

Primeiro, para o ponto (2, 1):
fxx = 12(2)^2 = 48 fyy = 8(1) = 8 fxy = 0 D = 48 cdot 8 - 0 = 384
Como D > 0 e fxx > 0, esse ponto é um mínimo local.

Passo 6

Agora, para o ponto (2, -1):
fxx = 12(2)^2 = 48 fyy = 8(-1) = -8 fxy = 0 D = 48 cdot (-8) - 0 = -384
Como D < 0, esse ponto é um ponto de sela.

Resposta

Os pontos críticos da função são (2, 1), que é um mínimo local, e (2, -1), que é um ponto de sela.

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