1. Em uma tarde ensolarada e ventosa, um pequeno lago raso está exposto a uma corrente de ar constante. A área superficial do lago é de 150 \mathrm{~m}^{2}, e a temperatura da água permanece aproximadamente constante em 25^{\circ} \mathrm{C}, devido ao aquecimento solar. O ar ambiente, a 15^{\circ} \mathrm{C}, flui com velocidade constante de 5 \mathrm{~m} / \mathrm{s} sobre a superficie da água. Desejase estimar a quantidade de água evaporada (em gramas ou Kg ) em 1 hora devido à acão da conveccão forcada supondo que toda a energia térmica sensível transferida do ar para a superficie da água seja utilizada para evaporar a água (ou seja, é totalmente convertida em calor latente). Considere que o comprimento característico do lago na direção do vento é de 20 metros. As propriedades do ar a 20^{\circ} \mathrm{C} são:
    Condutividade térmica: k=0,0263 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K}
    Viscosidade cinemática: v=15,89 \times 10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}
    Número de Prandt1: \operatorname{Pr}=0,71
    O calor latente de vaporização da água é h_{f g}=2,45 \times 10^{6} \mathrm{~J} / \mathrm{kg}.

Passo 1

O enunciado pede: estimar a quantidade de água evaporada em 1 hora a partir da superfície de um lago rasO, supondo que toda a energia térmica sensível transportada por convecção forçada do ar para a água seja convertida em calor latente de vaporização.
Dados fornecidos:
\begin{aligned} &\text{Área da superfície: } &&A = 150\\ \mathrm{m^{2}}\\\ &\text{Temperatura da água: } &&T_{\text{água}} = 25^\circ\mathrm{C}\\\ &\text{Temperatura do ar: } &&T_{\text{ar}} = 15^\circ\mathrm{C}\\\ &\text{Velocidade do ar: } &&U = 5\\ \mathrm{m/s}\\\ &\text{Comprimento característico na direção do vento: } &&L = 20\\ \mathrm{m}\\\ &\text{Condutividade térmica do ar (a }20^\circ\mathrm{C}\text{): } &&k = 0,0263\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}\\\ &\text{Viscosidade cinemática do ar: } &&\nu = 15,89\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}/s}\\\ &\text{Número de Prandtl: } &&\mathrm{Pr} = 0,71\\\ &\text{Calor latente de vaporização da água: } &&h_{fg} = 2,45\times 10^{6}\\ \mathrm{J/kg} \end{aligned}Áíááíçãéáúçãá
O que queremos calcular: a massa de água evaporada m em 1 hora ( 3600\\ \mathrm{s}), assumindo que toda a potência convectiva sensível vai para evaporar água.

Passo 2

Escolha do método (explicação didática do porquê): vamos modelar o escoamento do ar sobre o lago como escoamento sobre uma placa plana de comprimento L (boa aproximação quando a superfície é extensa e o vento é paralelo). Para convecção forçada sobre placa plana usamos correlações empíricas que dão o Número de Nusselt médio \mathrm{Nu}_{L} em função do Número de Reynolds \mathrm{Re}_{L} e do número de Prandtl \mathrm{Pr}. A sequência é:
  1. calcular \mathrm{Re}_{L} = \dfrac{U L}{\nu} para saber se o regime é laminar ou turbulento;
  2. escolher a correlação adequada para \mathrm{Nu}_{L};
  3. obter o coeficiente de transferência de calor convectivo h via \mathrm{Nu}_{L} = \dfrac{h L}{k};
  4. calcular fluxo de calor por área q'' = h\,(T_{\text{água}}-T_{\text{ar}})á;
  5. energia total em 1 h e, finalmente, massa evaporada m = \dfrac{E}{h_{fg}}.

Passo 3

Calcular o Número de Reynolds característico e decidir o regime. O número de Reynolds baseado em L é
\mathrm{Re}_{L} = \dfrac{U L}{\nu}.
Substituindo os dados:
\nu = 15,89\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}/s} = 1,589\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}/s},
\mathrm{Re}_{L} = \dfrac{5\cdot 20}{1,589\times10^{-5}} = \dfrac{100}{1,589\times10^{-5}} \approx 6,29\times10^{6}.
Interpretação: como \mathrm{Re}_{L}\approx 6{,}29\times10^{6} (muito maior que 5\times10^{5}), o escoamento na maior parte da superfície é turbulento; portanto usamos uma correlação para regime turbulento sobre placa.

Passo 4

Apresentar a correlação escolhida e explicar o que ela significa. Para convecção forçada turbulenta sobre placa plana, uma correlação prática e amplamente usada (para 5\times10^{5}<\mathrm{Re}_{L}<10^{7} e 0{,}6\lesssim\mathrm{Pr}\lesssim 60) é:
\mathrm{Nu}_{L} = 0{,}037\,\mathrm{Re}_{L}^{4/5}\,\mathrm{Pr}^{1/3}.
Aqui:
  • \mathrm{Nu}_{L} = \dfrac{h L}{k} é o número de Nusselt médio — mede a razão entre transporte convectivo e condução térmica;
  • \mathrm{Re}_{L} = \dfrac{U L}{\nu} já calculado;
  • \mathrm{Pr} é o número de Prandtl (dado), que relaciona difusão de momento e difusão térmica.
Usamos essa correlação porque \mathrm{Re}_{L} e \mathrm{Pr} do problema caem na faixa de validade.

Passo 5

Calcular \mathrm{Re}_{L}^{4/5} e \mathrm{Pr}^{1/3}. Já temos \mathrm{Re}_{L}\approx 6{,}29\times10^{6}.
\mathrm{Re}_{L}^{4/5} = (6{,}29\times10^{6})^{0{,}8} \approx 2{,}75\times10^{5}.
Calculemos \mathrm{Pr}^{1/3}:
\mathrm{Pr}^{1/3} = (0{,}71)^{1/3} \approx 0{,}892.

Passo 6

Calcular o Número de Nusselt médio \mathrm{Nu}_{L} e o coeficiente convectivo médio h. Usando a correlação:
\mathrm{Nu}_{L} = 0{,}037 \times 2{,}75\times10^{5} \times 0{,}892 \approx 9{,}08\times10^{3}.
Agora, pela definição de Nusselt:
h = \dfrac{\mathrm{Nu}_{L}\,k}{L}.
Substituindo k = 0{,}0263\\ \mathrm{W/(m\cdot K)} e L=20\\ \mathrm{m}:
h = \dfrac{9{,}08\times10^{3}\times 0{,}0263}{20} \approx 11{,}93\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}.
Interpretação: h é a “força” da convecção — quantos watts por metro quadrado são transferidos por grau de diferença de temperatura.

Passo 7

Calcular o fluxo de calor por unidade de área q'' e a potência total \dot{Q}. A diferença de temperatura é
\Delta T = T_{\text{água}} - T_{\text{ar}} = 25^\circ\mathrm{C} - 15^\circ\mathrm{C} = 10\\ \mathrm{K}.á
O fluxo de calor convectivo por área é
q'' = h\,\Delta T = 11{,}93 \times 10 \approx 119{,}3\\ \mathrm{W/m^{2}}.
A potência total fornecida à superfície (assumindo área A) é
\dot{Q} = q''\,A = 119{,}3 \times 150 \approx 1{,}7895\times10^{4}\\ \mathrm{W}.

Passo 8

Calcular a energia total disponível em 1 hora e a massa evaporada. Energia em t = 1\\ \mathrm{h} = 3600\\ \mathrm{s}:
E = \dot{Q}\,t = 1{,}7895\times10^{4}\times 3600 \approx 6{,}4422\times10^{7}\\ \mathrm{J}.
Assumindo que toda essa energia vira calor latente, a massa evaporada é
m = \dfrac{E}{h_{fg}} = \dfrac{6{,}4422\times10^{7}}{2{,}45\times10^{6}} \approx 26{,}3\\ \mathrm{kg}.
Comentário prático: isso equivale a cerca de 2,63\times10^{4}\\ \mathrm{g} ou aproximadamente 26 litros (pois 1\\ \mathrm{kg} de água ≈ 1 litro).

Passo 9

Verificação rápida de sensatez e observações: o valor obtido ( \sim 26{,}3\\ \mathrm{kg/h}) é razoável para as condições dadas (vento moderado, área grande). Lembre que fizemos aproximações clássicas: superfície plana, fluxo paralelo ao vento, e conversão total da energia sensível em evaporação. Na realidade parte da energia pode aquecer o ar úmido, haver radiação, etc., então este é um valor-estimativa superior (ou idealizado), mas serve muito bem para prova e ordem de grandeza.

Resposta

m \approx 26{,}3\\ \mathrm{kg} (aprox. 2{,}63\times10^{4}\\ \mathrm{g})

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