41-46 Encontre uma equação (a) do plano tangente e (b) da reta normal à superfície dada no ponto especificado.
42. y=x^2-z^2, (4,7,3)

Passo 1

O enunciado dá a superfície definida por
y = x^2 - z^2
e pede (a) o plano tangente e (b) a reta normal no ponto (4,7,3).
Para isso vamos usar derivadas parciais para obter o plano tangente e o gradiente de uma função implícita para a reta normal.

Passo 2

Trate y=f(x,z)=x^2-z^2. As derivadas parciais são
fx(x,z)=2x, fz(x,z)=-2z
No ponto (x0,z0)=(4,3) temos
fx(4,3)=2cdot4=8, fz(4,3)=-2cdot3=-6

Passo 3

A fórmula do plano tangente a y=f(x,z) em (x0,y0,z0) é
y - y0 = fx(x0,z0),(x - x0) + fz(x0,z0),(z - z0)
Substituindo x0=4, y0=7, z0=3, fx(4,3)=8 e fz(4,3)=-6, obtemos
y - 7 = 8,(x - 4);-;6,(z - 3)

Passo 4

Para a reta normal podemos usar a função implícita
cujo gradiente é
Em
que é vetor normal ao plano. A reta normal em forma paramétrica é
com parâmetro (t].

Resposta

(a) Plano tangente:
y - 7 = 8,(x - 4);-;6,(z - 3)
(b) Reta normal:
l(x,y,zr) = l(4,7,3r) + t,(8,-1,-6), tinR

Exercícios relacionados