41-46 Encontre uma equação (a) do plano tangente e (b) da reta normal à superfície dada no ponto especificado.
42.
42.
Passo 1
O enunciado dá a superfície definida por
e pede (a) o plano tangente e (b) a reta normal no ponto
.
Para isso vamos usar derivadas parciais para obter o plano tangente e o gradiente de uma função implícita para a reta normal.
Para isso vamos usar derivadas parciais para obter o plano tangente e o gradiente de uma função implícita para a reta normal.
Passo 2
Trate
. As derivadas parciais são
No ponto
temos
Passo 3
A fórmula do plano tangente a
em
é
Substituindo
,
,
,
e
, obtemos
Passo 4
Para a reta normal podemos usar a função implícita
cujo gradiente é
Em
que é vetor normal ao plano. A reta normal em forma paramétrica é
com parâmetro (t].
Resposta
(a) Plano tangente:
(b) Reta normal: