1. Determine a equação do plano tangente ao hiperboloide x^2 / a^2+y^2 / b^2-z^2 / c^2=1 em ( x0, y0, z0 ) e expresse-a de forma semelhante à do Exercício 51.

Passo 1

O enunciado pede o plano tangente ao hiperboloide
x^2a^2 + y^2b^2 - z^2c^2 = 1
no ponto (x0,y0,z0). Vamos usar que, para uma superfície implícita ,F(x,y,z)=0, o gradiente nabla F em um ponto é um vetor normal ao plano tangente ali.

Passo 2

Definimos
F(x,y,z) = x^2a^2 + y^2b^2 - z^2c^2 - 1
Então a superfície é F(x,y,z)=0.

Passo 3

Calculamos o gradiente de F:
nabla F(x,y,z) = l(2xa^2,,2yb^2,,-2zc^2r)
Em (x0,y0,z0) isso vale
nabla F(x0,y0,z0) = l(2x0a^2,,2y0b^2,,-2z0c^2r)

Passo 4

A equação do plano tangente usa a normal nabla F(x0,y0,z0) e passa por (x0,y0,z0):
nabla F(x0,y0,z0) cdot l((x,y,z)-(x0,y0,z0)r) = 0
Isto é,
2x0a^2(x - x0) + 2y0b^2(y - y0) - 2z0c^2(z - z0) = 0

Passo 5

Dividindo por 2 e expandindo, obtemos
x0xa^2 - x0^2a^2 + y0yb^2 - y0^2b^2 - z0zc^2 + z0^2c^2 = 0
Mas como x0^2a^2 + y0^2b^2 - z0^2c^2 = 1, isso se rearranja para
x0xa^2 + y0yb^2 - z0zc^2 = 1

Resposta

x0xa^2 ;+;y0yb^2;-;z0zc^2 ;=;1

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