encontre os quatro primeiros elementos da sequência de somas parciais sn, e obtenha uma fórmula para sn em termos de n. Determine também se a série infinita é convergente ou divergente; se for convergente, encontre a sua soma.
sumn=1^+infty 25^n-1

Passo 1

Resumindo, temos que calcular os primeiros quatro termos da sequência de somas parciais sn = sumk=1^n 25^k-1, identificar seu padrão (série geométrica) e depois verificar a convergência da série infinita sumn=1^infty25^n-1. Vamos usar a teoria de séries geométricas para obter a fórmula geral de sn e o valor do somatório quando converge.

Passo 2

Os termos individuais da série são ak = 25^k-1 = 2l(tfrac15r)^k-1. Calculando:
s1 = 25^1-1 = 2,
s2 = 2 + 25 = 125,
s3 = 2 + 25 + 225 = 6225,
s4 = 2 + 25 + 225 + 2125 = 312125

Passo 3

Como a1 = 2 e a razão é r=tfrac15, a soma parcial de uma série geométrica é dada por
sn = a1 1 - r^n1 - r
Substituindo a1=2 e r=tfrac15, vem
sn = 2 1 - l(tfrac15r)^n1 - tfrac15 = 2 1 - 5^-ntfrac45 = 52l(1 - 5^-nr)

Passo 4

Como lvert rrvert = tfrac15 <1, a série infinita converge. O somatório até o infinito é
limntoinfty sn = limntoinfty 52l(1 - 5^-nr) = 52

Resposta

Os quatro primeiros termos são
s1 = 2, s2 = 125, s3 = 6225, s4 = 312125
A fórmula geral é
sn = 52l(1 - 5^-nr),
e a série converge com soma tfrac52.

Exercícios relacionados