encontre os quatro primeiros elementos da sequência de somas parciais sn, e obtenha uma fórmula para sn em termos de n. Determine também se a série infinita é convergente ou divergente; se for convergente, encontre a sua soma.
sumn=1^+infty 2^n-13^n

Passo 1

O enunciado pede para a série
sumn=1^+infty 2^n-13^n
(que é uma série geométrica) encontrar os quatro primeiros elementos da sequência de somas parciais sn, obter uma fórmula geral para sn em termos de n, e determinar se a série converge; em caso afirmativo, achar a soma.

Passo 2

Calculamos explicitamente os quatro primeiros termos da sequência de somas parciais sn = sumk=1^n2^k-13^k:
s1 = 2^03^1 = 13,
s2 = s1 + 2^13^2 = 13 + 29 = 3+29 = 59,
s3 = s2 + 2^23^3 = 59 + 427 = 15+427 = 1927,
s4 = s3 + 2^33^4 = 1927 + 881 = 57+881 = 6581

Passo 3

Observamos que
2^n-13^n = 13,l(23r)^,n-1,
ou seja, é uma série geométrica de primeiro termo
a = 13
e razão
r = 23

Passo 4

Para uma série geométrica de primeiro termo a e razão rneq1, a soma parcial sn é
sn = a,1-r^n1-r
Aqui a=tfrac13 e 1-r = 1-tfrac23 = tfrac13, logo
sn = 13,1-l(tfrac23r)^ntfrac13 = 1 - l(23r)^n

Passo 5

Como l|tfrac23r|<1, temos
limntoinfty sn = limntoinftyl[1 - l(tfrac23r)^nr] = 1
Portanto, a série converge e sua soma é 1.

Resposta

Os quatro primeiros termos de sn são
s1 = tfrac13, s2 = tfrac59, s3 = tfrac1927, s4 = tfrac6581
A fórmula geral é
sn = 1 - l(tfrac23r)^n,
e a série infinita converge, com soma
sumn=1^infty2^n-13^n = 1

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