41-46 Esboce a região e encontre sua área (se a área for finita).
-
Passo 1
O enunciado dá a região
As perguntas implícitas são: (a) esboçar a região (ou descrever sua forma); (b) determinar a área da região, se essa área for finita. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A abscissa
varia a partir de até . - Para cada
, a ordenada varia entre e . - O limite superior da região é a curva
.
Passo 2
Descrevendo e esboçando a região de forma intuitiva (sem desenhar aqui): para
temos
Para
grande o denominador
cresce muito, logo
quando
. Assim a região é a faixa abaixo da curva
, acima do eixo
, começando em
(altura inicial
) e se estendendo para a direita com altura decrescente até zero. Em palavras: um “sombreado” sob uma curva positiva que tende a zero quando
. (Isto já indica que podemos esperar área finita, porque a altura cai rápido.)
Passo 3
Traduzir área em integral. A área
da região
é dada pela integral imprópria (área sob a curva desde
até
):
Aqui interpretamos a área como soma de retângulos infinitesimais de base
e altura
.
Passo 4
Verificação rápida da convergência (para ter certeza de que a integral tem valor finito). Para
grande,
, então
Como a integral
converge (porque o expoente
), por comparação a integral de
também converge. Portanto a área é finita e faz sentido calculá-la explicitamente.
Passo 5
Calcular a integral por frações parciais. Note que
então
Procuramos escrever isto como soma de termos simples:
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Expandindo:
Igualando coeficientes polinomiais em potências de
:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Termo constante:
.
Dessas equações temos
,
e
. Assim
Passo 6
Integrar termo a termo. Temos
As primitivas conhecidas são:
-
-
(porque derivada de é ).
Portanto uma primitiva da integranda é
A integral imprópria é o limite
Passo 7
Avaliar o limite. Primeiro calcule
para
. Reescrevendo:
Quando
temos
, logo
e portanto
. Agora
Assim
Passo 8
Interpretação final e checagem rápida: o valor
é positivo e finito (aproximadamente
), coerente com uma faixa que começa em altura
em
e decai rapidamente para
. Tudo consistente.