41-46 Esboce a região e encontre sua área (se a área for finita).
  1. S=\left\{(x, y) \mid x \geqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1 /\left(x^{3}+x\right)\right\}

Passo 1

O enunciado dá a região
S=\left\{(x,y)\mid x\ge 1,\;0\le y\le \dfrac{1}{x^{3}+x}\right\}.
As perguntas implícitas são: (a) esboçar a região (ou descrever sua forma); (b) determinar a área da região, se essa área for finita. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A abscissa x varia a partir de 1 até +\infty.
  • Para cada x\ge 1, a ordenada y varia entre 0 e 1/(x^{3}+x).
  • O limite superior da região é a curva y=\dfrac{1}{x^{3}+x}.

Passo 2

Descrevendo e esboçando a região de forma intuitiva (sem desenhar aqui): para x=1 temos
y=\dfrac{1}{1^{3}+1}=\dfrac{1}{2}.
Para x grande o denominador x^{3}+x cresce muito, logo y\to 0^{+} quando x\to+\infty. Assim a região é a faixa abaixo da curva y=\dfrac{1}{x^{3}+x}, acima do eixo y=0, começando em x=1 (altura inicial 1/2) e se estendendo para a direita com altura decrescente até zero. Em palavras: um “sombreado” sob uma curva positiva que tende a zero quando x\to\infty. (Isto já indica que podemos esperar área finita, porque a altura cai rápido.)

Passo 3

Traduzir área em integral. A área A da região S é dada pela integral imprópria (área sob a curva desde x=1 até +\infty):
A=\int_{1}^{\infty}\dfrac{1}{x^{3}+x}\,dx.
Aqui interpretamos a área como soma de retângulos infinitesimais de base dx e altura 1/(x^{3}+x).

Passo 4

Verificação rápida da convergência (para ter certeza de que a integral tem valor finito). Para x grande, x^{3}+x \sim x^{3}, então
\dfrac{1}{x^{3}+x}\sim \dfrac{1}{x^{3}}.
Como a integral
\int_{1}^{\infty}\dfrac{1}{x^{3}}\,dx
converge (porque o expoente 3>1), por comparação a integral de 1/(x^{3}+x) também converge. Portanto a área é finita e faz sentido calculá-la explicitamente.

Passo 5

Calcular a integral por frações parciais. Note que
x^{3}+x=x(x^{2}+1),
então
\dfrac{1}{x^{3}+x}=\dfrac{1}{x(x^{2}+1)}.
Procuramos escrever isto como soma de termos simples:
\dfrac{1}{x(x^{2}+1)}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{Bx+C}{x^{2}+1}.
Multiplicando ambos os lados por x(x^{2}+1) obtemos
1=A(x^{2}+1)+(Bx+C)x.
Expandindo:
1=(A+B)x^{2}+Cx+A.
Igualando coeficientes polinomiais em potências de x:
  • Coeficiente de x^{2}: A+B=0.
  • Coeficiente de x: C=0.
  • Termo constante: A=1.
Dessas equações temos A=1, C=0 e B=-A=-1. Assim
\dfrac{1}{x(x^{2}+1)}=\dfrac{1}{x}-\dfrac{x}{x^{2}+1}.

Passo 6

Integrar termo a termo. Temos
A=\int_{1}^{\infty}\left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{x}{x^{2}+1}\right)dx.
As primitivas conhecidas são:
  • \displaystyle \int \dfrac{1}{x}\,dx=\ln x.
  • \displaystyle \int \dfrac{x}{x^{2}+1}\,dx=\dfrac{1}{2}\ln\!\bigl(x^{2}+1\bigr) (porque derivada de x^{2}+1 é 2x).
Portanto uma primitiva da integranda é
F(x)=\ln x-\dfrac{1}{2}\ln\!\bigl(x^{2}+1\bigr).
A integral imprópria é o limite
A=\lim_{b\to\infty}\bigl[F(b)-F(1)\bigr].

Passo 7

Avaliar o limite. Primeiro calcule F(b) para b\to\infty. Reescrevendo:
F(b)=\ln b-\dfrac{1}{2}\ln\!\bigl(b^{2}+1\bigr) =\ln b-\dfrac{1}{2}\bigl(2\ln b+\ln(1+1/b^{2})\bigr) =-\dfrac{1}{2}\ln\!\bigl(1+1/b^{2}\bigr).
Quando b\to\infty temos 1/b^{2}\to 0, logo \ln(1+1/b^{2})\to 0 e portanto F(b)\to 0. Agora
F(1)=\ln 1-\dfrac{1}{2}\ln(1^{2}+1)=0-\dfrac{1}{2}\ln 2=-\dfrac{1}{2}\ln 2.
Assim
A=0-\left(-\dfrac{1}{2}\ln 2\right)=\dfrac{1}{2}\ln 2.

Passo 8

Interpretação final e checagem rápida: o valor \dfrac{1}{2}\ln 2 é positivo e finito (aproximadamente 0{,}3466), coerente com uma faixa que começa em altura 1/2 em x=1 e decai rapidamente para 0. Tudo consistente.

Resposta

\displaystyle A=\dfrac{1}{2}\ln 2

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